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Unido a la diferencia de dos determinantes

Deje $A$ $B$ dos reales, $n\times n$ matrices. El uso de Hadamard de la desigualdad, no es difícil mostrar que $$ \left|\det a - \det B \right| \leq \|B\|_{2} \frac {\|\|_{2}^n -\|B\|_{2}^n} {\|\|_2 -\|B\|_2}. $$ Donde $\|A\|_2=\sqrt{\sum_{i,j}a_{ij}^2}$. A partir de esto, me pueden derivar una sup obligado, por ejemplo $$ \left|\det a - \det B \right| \leq n^{n+1} \|B\|_{\infty} \max (\|\|_{\infty}^{n-1},\|B\|_{\infty}^{n-1}). $$ Donde $\|A\|_\infty=\sup_{i,j}|a_{ij}|$.

La constante $n^{n+1}$ no es la mejor obligado posible : cualquier referencia (o de prueba) para una mejor (o la mejor)? Os muestro a continuación que se puede obtener a $n^2(n-1)^{n-1}$, pero eso no es mucho mejor. He intentado $10^5$ matrices aleatorias en Arce y obtuvo una máxima constante (mucho) menor que uno : esto no es una prueba, pero parece que no hay espacio para la mejora, sin embargo.


Sólo para la integridad (y en caso de que alguien ve un factor que me perdí), para obtener el primer obligado, escrito $A=[A_1,\ldots,A_n]$ en términos de sus vectores columna, una expansión de la muestra \begin{eqnarray*} \det A &=& \det (A_1 -B_1,A_2,\ldots,A_n) + \det (B_1,A_2,\ldots,A_n) \\ &=& \sum_{j=1}^n \det (B_1,\ldots, B_{j-1}, A_j -B_j,A_{j+1},\ldots,A_n) \\ && + \det B, \end{eqnarray*} Así por Hadamard de la desigualdad, \begin{eqnarray*} \det A -\det B &\leq& \sum_{j=1}^n \prod_{i=1}^{j-1} \|B_i\|_{2}\prod_{i=j+1}^{n} \|A_i\|_{2} \|A_j-B_j\|_{2} \\ &\leq& \|A-B\|_{2} \sum_{j=1}^n \|B\|^{j-1}_{2}\|A\|^{n-j}_{2} \\ &=& \|A-B\|_{2} \frac{\|A\|_{2}^n -\|B\|_{2}^n}{\|A\|_2 -\|B\|_2}. \end{eqnarray*}

La segunda obligado es sólo eso $x^n -y^n\leq n \max(|x|^{n-1},|y|^{n-1}) |x-y|$$\|A\|_2 \leq n\|A\|_\infty$.


Otro enfoque es el del cálculo, es decir, a escribir que $\det B - \det A = f(1)-f(0)$ ,$f(t)=\det(A + t(B-A))$.

Por el valor medio teorema $f(1)-f(0)\leq \max |f^\prime (t)|$.

Podemos calcular que $$f^\prime(t) = {\rm trace}\left({\rm Cofm}(A +t(B-A))(B-A)\right)$$ (si no me lío, utilizando la fórmula para la diferencial de un determinante, donde Cofm significa que la matriz de los Cofactores).

A continuación, debe ofrecer algo mejor, si hay una buena manera de enlazar. La cosa más simple es el uso de Cauchy-Schwarz, es decir, $$ \left|{\rm de seguimiento}\left({\rm Cofm}(A +t(B-A))(B-A)\right)\right|\leq \|B-a\|_{2} \|{\rm Cofm}(A +t(B-A))\|_{2} $$ y luego, por la falta de una idea mejor, $$ \|{\rm Cofm}(A +t(B-A))\|_{2}\leq n \max_{ij} |{\rm Cof}_{i,j}(A +t(B-A))|, $$ y brutalmente, $|{\rm Cof}_{i,j}(A +t(B-A))|\leq ((n-1) \max(\|A\|_\infty,\|B\|_\infty))^{n-1}$ da una ligera mejora constante, es decir, $$ n^2(n-1)^{n-1} <n^{n+1} $$ pero que todavía parece una manera muy brusca, para acotar un factor determinante, ya que nunca es agudo, ya que para alcanzar esta enlazado todos los coeficientes deben ser iguales, y por lo tanto el cofactor sería cero. Ellos son del mismo orden en $n$, y sospecho que este orden está mal.

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Vlad Puntos 5500

Dado que la mayoría de los relacionados con los resultados parecen ser publicado en artículos dedicados a la perturbación de la determinante, permítanme reescribir su obligación $$ \big\vert \, \det \left (\,\,\right) - \det \left(\,B\,\right)\,\big\rvert \le n^{n+1} \left\|\a-B\,\right\|_\infty \max \big\{ \left\|\,\,\right\|^{n-1}_\infty, \,\left\|\,B\,\right\|^{n-1}_\infty \big\}\etiqueta{1a}\label{1a} $$ bajo la suposición de $\,B = A + E$: $$ \big\vert \, \det \left (\,\,\right) - \det \left(\,a+E\,\right)\,\big\rvert \le n^{n+1} \left\|\,E\,\right\|_\infty \max \big\{ \left\|\,\,\right\|^{n-1}_\infty, \,\left\|\,a+E\,\right\|^{n-1}_\infty \big\}\etiqueta{1b}\label{1b} $$

La mejor obligado pude encontrar que se presenta en este documento:

Absoluta de la perturbación de los límites (Teorema 2.12, p.768, [1]):

Deje $A$ $E$ $n \times n$ matrices complejas. Entonces $$ \big\vert \, \det \left (\,\,\right) - \det \left(\,a+E\,\right)\,\big\rvert \le n \,\left\|\,E\,\right\|_2 \max \big\{ \left\|\,\,\right\|_2, \,\left\|\,a+E\,\right\|_2 \big\}^{n-1} \etiqueta{2}\label{2} $$

Relación de perturbación de los límites (Corolario 2.14, p.770, [1]):

Deje $A$ $E$ $n \times n$ matrices complejas. Si $A$ es nonsingular, entonces $$ \frac{ \big\vert \, \det \left(\,a+E\,\right) - \det\left (\,\,\right)\,\big\rvert }{ \big\vert\,\det \left (\,\,\right)\,\big\rvert } \le \Big( \big\|\,^{-1}\,\big\|_2 \big\|\,E\,\big\|_2\Big)^{n}-1 = \left(\kappa\,\frac{\left\|\,E\,\right\|_2}{\left\|\,\,\right\|_2}\right)^{n}-1, \etiqueta{3}\label{3} $$ donde $ \kappa \equiv \big\|\,A\,\big\|_2 \,\big\|\,A^{-1}\,\big\|_2$.

La absoluta obligado resultado puede escribirse en términos de los valores singulares de a $A$.

Absoluta de la perturbación de los límites (Corolario 2.7, p.767, [1]): Deje $A$ $E$ $n \times n$ matrices complejas. Entonces $$\big\vert \, \det \left(\,A\,\right) - \det \left(\,A+E\,\right)\,\big\rvert \le\sum_{i=1}^{n} s_{n-i} \left\|E\right\|^i_2.\tag{2a}\label{2a}$$ Si $\operatorname{rank}\left(A\right) = r$ algunos $1 ≤ r ≤ n − 1$, luego $$\big\vert \det \left(\,A+E\,\right)\big\rvert \le\left\|E\right\|^{n-r}_2 \sum_{i=1}^{r} s_{r-i} \left\|E\right\|^i_2,$$ donde el $s_j$ son primarias simétrica funciones en el $r$ mayores valores singulares de $A$, $1 ≤ j ≤ r$. Los límites de sujetar con la igualdad de la $E = \varepsilon UV_*$ $ε > 0$ donde $ A = UΣV_*$ es un SVD de a $A$.


Comparemos, por ejemplo, $\eqref{1b}$$\eqref{2}$. Desde $$ \frac{1}{\sqrt n}\left\|\,E\,\right\|_\infty \le \left\|\,E\,\right\|_2 \le \sqrt n\left\|\,E\,\right\|_\infty \implica \left\|\,E\,\right\|_\infty \ge n^{-\frac{1}{2}} \left\|\,E\,\right\|_2 , $$ tenemos $$ \begin{aligned} \eqref{1b} & = n^{n+1} \left\|\,E\,\right\|_\infty \max \big\{ \left\|\,A\,\right\|^{n-1}_\infty, \,\left\|\,A+E\,\right\|^{n-1}_\infty \big\} \ge \\ & \ge n^{n} \left( n^{-\frac{1}{2}}\left\|\,E\,\right\|_2\right) \max\big\{\left\|\,A\,\right\|_\infty,\,\left\|\,A+E\,\right\|_\infty\big\}^{n-1} = \\ & = n^{n+\frac{1}{2}} \left\|\,E\,\right\|_2 \max\big\{\left\|\,A\,\right\|_\infty,\,\left\|\,A+E\,\right\|_\infty\big\}^{n-1} \ge \\ & \ge n^{\frac{n}{2}+1} \left\|\,E\,\right\|_2 \max\Big\{\!\!\left( n^{-\frac{1}{2}}\left\|\,A\,\right\|_2\right), \, \left( n^{-\frac{1}{2}}\left\|\,A+E\,\right\|_2\right)\!\!\Big\}^{n-1} = \\ & = n^{\frac{n+3}{2}}\left\|\,E\,\right\|_2 n^{\frac{1-n}{2}} \max\Big\{\left\|\,A\,\right\|_2,\,\left\|\,A+E\,\right\|_2 \Big\}^{n-1} = \\ & = n^{2} \left\|\,E\,\right\|_2 \max\Big\{\left\|\,A\,\right\|_2,\,\left\|\,A+E\,\right\|_2 \Big\}^{n-1} \ge \\ & \ge n \left\|\,E\,\right\|_2 \max \big\{ \left\|\,A\,\right\|_2, \,\left\|\,A+E\,\right\|_2 \big\}^{n-1} = \eqref{2} \end{aligned} $$

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que la estimación de $\eqref{2}$ es más nítida que $\eqref{1b}$.


Referencia:

  1. Ipsen, Ilse C. F., y Rizwana Rehman. "La perturbación de los Límites para los Determinantes y características de los Polinomios." SIAM. J. Matriz Anal. Y Appl. SIAM Journal on de la Matriz de Análisis y Aplicaciones 30.2 (2008): 762-76. Web. 7 de Agosto. 2015.

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