37 votos

Fourier vs Laplace se transforma

Al resolver un sistema lineal, ¿cuándo usaría una transformación de Fourier frente a una de Laplace? No soy un matemático, así que la pequeña intuición que tengo me dice que podría estar relacionada con las condiciones límite impuestas a la solución que estoy tratando de encontrar, pero soy incapaz de afirmar esto rigurosamente o encontrar una referencia que lo discuta. Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

26voto

JasonSmith Puntos 34470

He aquí un punto de vista heurístico de las consideraciones de ingeniería. Debo confesar que no conozco completamente las razones matemáticas.

Suponga que quiere considerar $f(t)$ una función del tiempo, $t$ . Imagina que mientras miramos la dirección de lo positivo $t$ -eje, el gráfico de $f(t)$ es como mirar detrás del rastro $f$ que se dejaron en el tiempo. Si no te importa el futuro, es decir, el caso $t < 0$ entonces tiene sentido usar la transformación de Laplace, porque la integral de la transformación va desde $0$ a $ \infty $ . Por otro lado, si también te preocupa el futuro, tiene más sentido considerar la transformación de Fourier. La transformación integral aquí va desde $- \infty $ a $ \infty $ .

Así que si quieres incluir el futuro en tu análisis, entonces la transformación de Fourier es el camino. Esto tiene sentido en las aplicaciones de ingeniería eléctrica, por ejemplo, donde consideras las señales sinusoidales y tienes una idea de lo que va a venir.

Sin embargo, para algunos sistemas físicos, sólo tienes los datos de lo que pasó hasta entonces. Y quieres que todo tu análisis se base en esto, sin predecir el futuro. Entonces Laplace se transforma es el camino.

Si no te importa el futuro, es decir, si puedes declarar $f(t) = 0$ para $t < 0$ entonces las transformaciones de Laplace y Fourier coinciden: La transformación de Fourier no es más que la de Laplace evaluada en el eje imaginario. Tales sistemas se llaman sistemas causales: la respuesta depende sólo de lo que ha ocurrido hasta ahora. Esta es una terminología de sistemas de control o procesamiento de señales.

Para la ingeniería de sistemas de control, la estabilidad de las redes eléctricas, etc., la transformación de Laplace define una función de transferencia más natural, y es más fácil de tratar, y los polos y los ceros le dirán inmediatamente sobre la estabilidad de la red en cuestión. Aquí utilizamos la transformación de Laplace en lugar de la de Fourier, ya que su integral es más simple.

En los casos en que se miran los "componentes de frecuencia", el "espectro", etc., el análisis de Fourier es siempre el mejor. La transformación de Fourier es simplemente el espectro de frecuencia de una señal. Si sabemos que los exponenciales sin/cos/complejo se comportarían bien, podríamos también querer expresar una función en términos de estos y observar cómo se comporta entonces.

Otro ejemplo es la resolución de la ecuación de la onda. El propio Fourier utilizó series/transformaciones de Fourier para problemas de conducción de calor.

15voto

kixx Puntos 2452

Las transformaciones de Laplace aparecen en la física debido a la causalidad: una función de respuesta $R(t-t')$ que da la respuesta en el momento $t$ a una fuerza en el tiempo $t'$ debería desaparecer por $t \lt t'$ para no violar la relación temporal entre causa y efecto. Porque $R(t)=0$ para $t<0$ su transformación integral es la de Laplace en lugar de la de Fourier.

5voto

Renaud Bompuis Puntos 10330

Para un uso práctico típico es esencial saber qué propiedades tiene el sistema que está tratando de describir. Normalmente se puede incluso obtener algunas ideas sobre la posible forma de la solución antes de resolver realmente las ecuaciones, sólo por medio de consideraciones de simetría. Así que entonces tienes que considerar una u otra transformación no por la eficacia formal, sino porque tu solución tiene que tener una interpretación práctica! ¿Qué haces con la solución si no tienes ninguna interpretación, por ejemplo, para los coeficientes de las ecuaciones que obtienes?

La transformación de Fourier a veces tiene una interpretación física, por ejemplo para algunos modelos mecánicos en los que tenemos soluciones cuasiperiódicas (normalmente debido a la simetría del sistema) las transformaciones de Fourier le dan modos normales de oscilaciones. A veces, incluso para sistemas no lineales, los acoplamientos entre dichas oscilaciones son débiles, de modo que la no linealidad puede aproximarse mediante series de potencia en el espacio de Fourier. Muchos sistemas tienen una simetría espacial discreta (cristales), por lo que las soluciones de las ecuaciones tienen que ser periódicas, de modo que la FT es bastante natural (por ejemplo, en la mecánica cuántica). Con cualquiera de los modos normales se puede vincular la energía finita, a veces el momento, etc. con invariantes de movimiento. Así que durante la evolución, para el sistema lineal, tales modos no se acoplan entre sí, y el sistema en uno de estos estados queda en él para siempre. Cada sistema físico lineal tiene su espectro de modos normales, y si se combina con alguna fuente de energía externa aleatoria (ruido blanco), su evolución atraviesa tales estados desde la menor energía posible hasta la mayor.

Depende de las condiciones iniciales y de los valores y restricciones de los límites, pero para los sistemas finitos y las ecuaciones lineales la Transformada de Fourier le da la transformación de la ecuación diferencial lineal a la matriz uno (que casi siempre es soluble y tiene una teoría y un significado claros) mientras que la Transformada de Laplace de la DE a la algebraica con todas las ventajas y desventajas de ésta.

La transformación de Laplace le da una solución en términos de exponentes en decadencia por lo que es bastante útil en los procesos de relajación, pero no tiene una interpretación física, normalmente no hay invariantes conectadas a ningún "vector" de dicha representación, no hay una versión discreta de dicha transformación con significado físico. Se utiliza en varios problemas de ingeniería, de manera que los circuitos eléctricos, la teoría de colas, etc., muchas ecuaciones en los procesos de difusión tienen soluciones de transformación fáciles de Laplace.

Definitivamente sería más fácil aconsejarle qué método de solución usar si describiera cuál es el proceso que está tratando de describir.

Referencias: trate de buscar en Google tales palabras: espectro de energía, modos normales, estados propios, vectores propios en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales - la resolución de DE por medio de transformaciones integrales de manera práctica se describe generalmente en los libros sobre Métodos Matemáticos en Física, y está conectada a las funciones de respuesta, la teoría de la distribución, los espacios funcionales de Hilbert y Banach, etc. Es un área muy, muy amplia. Es más, si preguntas en un contexto específico (por ejemplo en el contexto de los procesos estocásticos, o de la mecánica cuántica), entonces probablemente estás buscando algún tipo de interpretación de tales transformaciones y no para la teoría formal. Estas diferencias a veces son difíciles porque muchos libros de matemáticas se centran en los teoremas de la existencia, etc., que para muchas aplicaciones son obvios (siempre y cuando tengamos un modelo funcional y bien formulado, que es el que tenemos habitualmente).

Es muy difícil conseguir una referencia útil sin conocer el área de aplicación, porque es un método muy utilizado. En analogía, en el nivel de matemáticas es como pedir la aplicación de los espacios métricos, o el teorema de Stokes y su significado: es un área tan amplia que probablemente se puede poner en cualquier otra área que quepa! Casi todos los libros de Mecánica Cuántica tendrán la explicación e interpretación del método de Fourier. ¡La transformación de Laplace se utilizará en todos los libros sobre el procesamiento de señales! Muchos de ellos tienen una muy buena y práctica introducción a tales métodos. Prefiero los libros de física, por ejemplo Byron Fuller "Métodos matemáticos de la física" para el nivel intermedio.

Aquí tienes muchas, muchas referencias: http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html Aquí tienes otra lista: http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html

2voto

Marika Puntos 41

Durante muchos años he tratado de obtener una buena respuesta para la relación de transformación de Laplace y Fourier. Muchas de las explicaciones sólo mencionan que la relación es que s=a+jw, así que la transformación de Fourier se convierte en un caso especial de la transformación de Laplace. Triste explicación. Las mejores explicaciones tratan de que Laplace se usa para estudios de estabilidad y Fourier para respuestas sinusoidales de sistemas. Usando esa información, concluyo que como los sistemas son estables si la parte real de s es negativa, es decir que hay un transitorio que se desvanecerá en el tiempo, en esos casos, es suficiente usar Fourier. Por supuesto que perderá la visión de la parte transitoria. Laplace debería ser capaz de determinar la respuesta completa de un sistema, ya sea estable o inestable, incluyendo las partes transitorias.

1voto

mvw Puntos 101

El patrón de solución detrás es así:

Usar una transformación es como cambiar tu punto de vista. En algunos casos el problema puede resultar tan fácil bajo el nuevo punto de vista, que se puede resolver el problema allí y luego se toma la solución obtenida y se transforma de nuevo a su punto de vista original.

Aquí podríamos intentar resolver una ecuación diferencial, buscando así alguna función (o distribución) que cumple con la ecuación diferencial y las condiciones adicionales.

El transformador de Laplace tiene esta bonita propiedad:

$f'(t) = s F(s) - f(0)$

Esto significa que una ecuación diferencial transformada tendrá la derivada $f'(t)$ sustituido por el término anterior, por lo que una simple ecuación con sólo ocurrencias de $F(s)$ y la condición de inicio $f(0)$ quedan. Tal ecuación que podemos resolver para lo desconocido $F(s)$ por simple álgebra.

El cambio de punto de vista de $t$ -dominio a $s$ -hizo más fácil el problema de resolver la ecuación diferencial sustituyéndola por una ecuación algebraica.

La parte más difícil es transformar de nuevo la solución encontrada $F(s)$ a $f(t)$ aplicando una transformación Laplace inversa (o buscándola en alguna tabla).

La transformación de Fourier tiene una propiedad similar:

$f'(x) = 2 \pi i \,t\, F(t)$

que en cierto sentido transforma al operador diferencial $ \partial_x = \partial / \partial x$ en una multiplicación con la variable $t$ .

Esto se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación de difusión, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon, etc., convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas, como $ \Delta = \sum \partial_i \partial_i $ se transforma en $ \sum x_i x_i$ .

De nuevo lo resuelves y luego te transformas de nuevo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X