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¿Cuál es el ancho promedio de un polígono convexo?

Si uno calcula el ancho promedio de un triángulo, entonces uno se $(s_1+s_2+s_3)/\pi$, donde $s_1$, $s_2$, $s_3$ son las longitudes de los lados. Hice esto por fuerza bruta, usando una integral que fue a través de un intervalo de longitud de $\pi$. Para cada ángulo de $\theta$, el "ancho" $w_\theta$ del triángulo es la menor distancia uno puede poner en paralelo dos líneas en ángulo sin penetrar en el triángulo. (Imagino que con pinzas para cada ángulo.)

Mis preguntas: ¿hay una manera más fácil (sin usar una integral) para ver que la relación entre el perímetro $s_1+s_2+s_3$ a esta anchura media es $\pi$? ¿Esta generalizar a cualquier polígono convexo (o polytope)?

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seanyboy Puntos 3170

La mayoría de la instrucción básica a lo largo de estas líneas es que el ancho promedio de cualquier segmento de línea es igual a $2L/\pi$ donde $L$ es la longitud del segmento. Esto está muy relacionado con la Buffon aguja del problema, donde la longitud de la aguja es la misma que la anchura de las tiras. También está relacionado con el hecho de que el valor promedio de $|x|$ sobre el círculo unitario es igual a $2/\pi$.

Ahora considere la posibilidad de un polígono convexo en el plano. No importa cómo usted gire el polígono, su ancho horizontal es siempre igual al doble de la suma de la horizontal de la anchura de los bordes. Específicamente, la suma de los anchos de los bordes a lo largo de la parte inferior es igual a la anchura del polígono, y lo mismo es cierto de los anchos de los bordes a lo largo de la parte superior. Por lo tanto, el ancho promedio de cualquier polígono convexo es igual a la mitad de la suma del promedio de los anchos de las longitudes de los lados: $$ \text{avg. ancho} \;=\; \frac{1}{2}\left(\frac{2s_1}{\pi} + \cdots + \frac{2s_n}{\pi}\right) \;=\; \frac{s_1+\cdots+s_n}{\pi}. $$

No hay una fórmula similar en las tres dimensiones que involucran área. En concreto, supongamos que tomamos un poliedro y girar en todas las formas posibles. Para cada rotación, se mide el área de la proyección de los poliedros en el $xy$-plano. Entonces $$ \text{avg. $xy$-área de} \;=\; \frac{A_1+\cdots+A_n}{4} $$ donde $A_1,\ldots,A_n$ son las áreas de las caras. Por lo tanto, si usted toma un cubo unitario en el exterior en un día soleado y girar al azar, el área promedio de su sombra se $(1+1+1+1+1+1)/4 = 3/2$. De nuevo, el factor de $4$ proviene del hecho de que un poliedro tiene caras superior e inferior de la cara, y el promedio de $xy$-área de un objeto plano es $A/2$. Esto último se deduce del hecho de que el valor promedio de $|z|$ en la unidad de la esfera es $1/2$.

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