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Un momento de cohomología $.$

Como es bien conocido (cf. Ref.1), el impulso del operador está definido hasta un tiempo independiente de la forma cerrada. Más precisamente, la física no equivalentes impulso de los operadores se clasifican por el de Rham cohomology de las clases del espacio de configuración que, si topológicamente no trivial, contiene más que un elemento ($b_1$ elementos, el primer número de Betti).

Pero un verdadero física del sistema tiene un momento único operador. Los diferentes elementos de $H^1$ corresponden a diferentes dinámicas; pero la dinámica de un sistema real son fijos – que son lo que son. Por lo tanto, lo que determina que el impulso del operador en realidad es realizado en un sistema en particular? Si no hay ningún principio que nos permite determinar, a priori, que impulso el operador es "la correcta", podemos, al menos, hacerlo a posteriori? Tiene como un experimento nunca ha realizado?

Las referencias.

  1. DeWitt - el enfoque global de La teoría cuántica de campos, en el capítulo 11.

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David Bar Moshe Puntos 14259

De Witt define el impulso operador como: $$p_i = i \frac{\partial}{\partial x^i}-\omega_i(x,t)$$ Se requiere el formulario de $\omega = \omega_i dx^i$ a ser cerrada con el fin de no alterar el impulso-momentum canónica relaciones de conmutación.

Por favor, observe que el impulso operador describe un mínimo acoplamiento a un Abelian vector de potencial (U(1) conexión) con fuga del campo de fuerza. Esto es un puro medidor electromagnético de vectores potenciales o en la matemática de la terminología de un plano de la conexión.

El puro de calibre vector potencial tiene un trivial efecto en la dinámica (es decir, las soluciones de la ecuación de Schrödinger) sólo si el colector en el que la partícula vidas tiene un trivial grupo fundamental de la $\pi_1(M)$. Por favor, consulte las siguientes notas de la conferencia de V. P. Nair sección 4(a) donde el mismo fenómeno se explica desde un punto de vista más moderno punto de vista.

Por supuesto, (cuando no es una solución no trivial para el vector potencial) el sistema es un Aharonov-Bohm tipo de estado. Esto significa que hay una fuente (solenoide) la generación de este vector potencial. El nontriviality del impulso del operador por lo tanto puede ser experimentalmente detectado por un Aharonov-Bohm experimento de interferencia.

El no equivalentes cuantizaciones de este sistema son parametrizadas por el flujo de la solenoide módulo del flujo causando un Aharonov-Bohm fase de $2 \pi$. Que es el espacio de la no equivalentes cuantizaciones es $\mathbb{R}/ 2\pi\mathbb{Z}$. Un sistema único (una partícula que se mueve en el solenoide de campo) tiene un único impulso del operador correspondiente a un único punto en el espacio de no equivalentes cuantizaciones. Con el fin de realizar otro impulso operador, uno puede, por ejemplo, agregar otra partícula que se mueve alrededor de su propio solenoide. La segunda partícula tendrá un impulso operador con un vector diferente potencial. Otra posibilidad es cambiar el flujo en el solenoide, como resultado otra posibilidad de que el impulso del operador se dio cuenta. La segunda posibilidad es un cambio de topología de la plana principal de Aharonov-Bohm paquete .

Observaciones:

  1. Este efecto se detecta co(homología) en lugar de homotopy, cuando la partícula es escalar. El primer grupo de homología es la Abelianization de grupo fundamental; con el fin de detectar la plena grupo fundamental (es decir, encontrar una conexión con trivial holonomy en todos los generadores del grupo), necesitamos una partícula con grados internos de libertad. Esto está relacionado con el los últimos pregunta sobre PSE que ha participado. El último se llama a veces, el no Abelian Aharonov-Bohm efecto.

  2. No triviales (Abelian, no Abelian, generalizada) puro medidor de campos (y sus espacios de soluciones) describir importante de los efectos físicos. Por ejemplo, representan medidor de clases de equivalencia de las soluciones de la Chern-Simons modelo.

  3. Este tipo de topológico efecto fue tratado en un par de ocasiones, desde distintos puntos de vista, en el PSE, por favor véase, por ejemplo, estos dos preguntas que he respondido.

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