5 votos

¿Existen alguna cadenas de 2 (no trivial) de trillizos de Pitágoras?

Definir un entero 3-relación" como una función de $f(a,b,c)$ de tres variables de tipo integer, junto con la condición de que esta función debe ser igual a cero. Dos ejemplos de ello serían el "Pitágoras triplete relación" con $f(a,b,c) \equiv c^2 - (a^2 + b^2) $ y el "near-miss Pitágoras triplete relación" con $f(a,b,c) \equiv c^2 +1 - (a^2 + b^2) $.

Para cualquier número entero 3-relación de la base de algunos de los $f$, pueden ser muchos los trillizos que satisfacen la condición. Por ejemplo, cualquier triplete $$ \{k(m^2 - n^2), \,2k m n, \, k(m^2+n^2)\}\,\, (k,m,n \in \Bbb N) $$ satisface Pitágoras triplete relación.

En algunos casos, puede haber una cadena de $n$ trillizos $$ \{a, b, c\},\, \{b, c, d\},\, \{c, d, e\},\, \cdots $$ tales que cada uno de estos trillizos satisface la misma entero 3-relación de la base de algunos de los $f$, y las dos últimas entradas en cada triplete en el primer partido de dos entradas en el siguiente. Por ejemplo, con $f(a,b,c) = c^2 +1 - (a^2 + b^2)$, los trillizos $\{7,\, 11,\, 13\}, \{11,\, 13,\, 17\}$ formulario 2-cadena, porque $$ 7^2 + 11^2 = 13^2+1 \\ 11^2 + 13^2 = 17^2 + 1 $$ Estoy preocupado con la búsqueda de cadenas de Pitágoras trillizos.

Probar que (que no sea trivial cadenas con $a$ o $b$ cero) no hay 2-cadenas de Pitágoras trillizos (o refutar que la conjetura, proporcionando un ejemplo de Pitágoras 2-cadena).


Creo que tengo una prueba a lo largo de las líneas de comenzar con un "primitivo" 2-cadena (sin factor común en $a$$b$), la aplicación de la forma general de Pitágoras trillizos dada anteriormente, y re-distribución de los factores en $2 m n$ para formar el $2 r s$ de la siguiente triplete, por lo que el$ 2mn = 2rs$$m^2 + n^2 = r^2 - s^2$. En ese momento me puede resolver una ecuación cuadrática por uno de los factores y la condición de que el discriminante sea un cuadrado perfecto conduce a la construcción de una diferente de 2 cadenas con números más pequeños-y de reducción de la ad absurdium se aplica.

Pero mi prueba no es lo que yo considero sólido...

0voto

Nick G Puntos 56

Para una cadena de Pitágoras tenemos trillizos$$b^2=c^2-a^2$$and$$b^2=d^2-c^2.$$ Por lo tanto $a^2,c^2$ $d^2$ están en progresión aritmética con diferencia común $b^2.$

Una prueba de que los tres plazas en progresión aritmética no puede tener una plaza como la diferencia común fue dado por Fermat y es conocido como Fermat triángulo rectángulo teorema. (La prueba está incluido en los enlaces de esta página.)

Un número que puede ser una diferencia de tres plazas en AP es conocido como un congruum y es sabido que estos números son los que son, exactamente, cuatro veces el área de un triángulo de Pitágoras. Por lo tanto, si un congruum es un cuadrado, entonces el área del triángulo de Pitágoras también debe ser cuadrada.

Fermat prueba se basa en mostrar que si existe un triángulo de Pitágoras con un área que es un número cuadrado, a continuación, un pequeño ejemplo de Pitágoras triángulo debe existir.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: