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Comprender el valor absoluto de una matriz.

Creo que el valor absoluto de una matriz se define como $$ |A|= \sqrt {A^{ \dagger }A} \ . $$ Pero la raíz cuadrada de una matriz no es la única wikipedia da una lista de ejemplos para ilustrar esto.

Para entender esto, ¿cómo se calcula el valor absoluto de..: $$ A= \begin {pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \end {pmatrix} $$ Claramente $A^{ \dagger }=A$ así que $|A|= \sqrt {A^2}$ pero esto no es necesariamente $A$ . Quiero elegir la identidad en este caso, ya que los valores propios de $|A|$ son ambos 1 (y eran $ \pm1 $ para $A$ ). Pero las matemáticas no se tratan de lo que yo quiero. Entonces, ¿qué es $|A|$ ? ¿Está bien definido? Y cómo hago esta operación en general, ya que mi aplicación para esto es, por supuesto, mucho más compleja.

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¿Ayuda esto de la página de la wikipedia que enlazas? "Sin embargo, una matriz semidefinida positiva tiene precisamente una raíz cuadrada semidefinida positiva, que puede llamarse su raíz cuadrada principal".

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sí si $|A|$ es "la raíz cuadrada definida positiva $\sqrt{A^{\dagger}A}$ ", pero no he visto que eso se diga en los documentos que he leído. ¿Quizás sea obvio en la comunidad matemática?

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Creo que es seguro asumir que eso es lo que se quiere decir. Siempre puedes indicar claramente en tu trabajo que es así como supones que lo usan los demás, y esperar una objeción que nunca llegará.

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Si $D$ es una matriz diagonal con términos positivos, entonces la raíz cuadrada positiva, $\sqrt D$ está determinada de forma única por la matriz diagonal de raíces cuadradas positivas de los términos diagonales.

Si una matriz $A$ es diagonalizable con valores propios positivos, entonces $A= P^{-1}DP$ y podemos definir su raíz cuadrada positiva como $ \sqrt A= P^{-1} \sqrt D P$

Por lo tanto, no hay confusión en encontrar el valor absoluto si $A$ si consideramos sólo las raíces cuadradas positivas.

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