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Ecuación de campos

Que $ K $ ser un campo y $f:K-\left { 0 \right }\rightarrow K-\left { 0 \right }$ un función con $f(f(x))=x^{-1},\forall x\in K-\left { 0 \right }$ y $ f(1)\neq 1.$
Saber que $ f^{2}(x)-f(x)+1=0 $ $K-\left { 0 \right } $ tiene una solución única, determinar $ f(2)$.

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justartem Puntos 13

Supongamos que $a$ es una raíz del polinomio $x^2-x+1$.

A continuación, $(x-a)$ divide el polinomio $x^2-x+1$.

Esto significa que $(x-a)(x-a)=x^2-x+1$ (debido a que la raíz es única).

de ello se desprende que $x^2-2a+1=x^2-x+1$$2a=1$$a^2=1$.

llegamos a la conclusión de que $1=1^2=(2a)^2=4a^2=4$.

De modo que el campo debe tener la característica $3$, y por lo $2=-1$.

Deje $z=f(1)$. Aviso de $z^{-1}=f(f(z))=f(f(f(1))=f(1)=z$. De ello se desprende que $z^2=1$. Los únicos dos raíces del polinomio $x^2-1$$1$$-1$. Llegamos a la conclusión de $z=-1$.

Así que tenemos $f(1)=-1$, y desde $1=f(f(1))=f(-1)$ tenemos $1=f(-1)=f(2)$.

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