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¿Cómo demostrar que si el determinante de la matriz es cero, entonces al menos un valor propio debe ser cero?

Para una matriz $A$ , si $\det(A)=0,$ demostrar y dar un ejemplo de que al menos un valor propio debe ser cero.

Al principio, intenté utilizar la identidad de que el producto de los valores propios es el determinante de la matriz, por lo que se deduce que al menos uno debe ser cero para que el determinante sea cero. ¿Es esto correcto? ¿Podría también demostrarlo utilizando $(A-\lambda I)X=0$ para algunos $X\neq 0?$

Si $\lambda=0,$ entonces tenemos $AX=0$ pero no puedo decir $\det(A)\cdot \det(X)=0$ porque $X$ no es una matriz cuadrada y no tiene determinante. ¿Cómo podría continuar?

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zardos Puntos 41

Aquí una forma elemental:

$\det(A) = 0 \Rightarrow$ las columnas de $A =(c_1 \ldots c_n)$ son linealmente dependientes $\Rightarrow$ hay un vector no nulo $v = (v_1 \ldots v_n)^T$ tal que $v_1c_1 + \cdots v_n c_n = \vec{0} \Rightarrow Av = \vec{0} = 0\cdot v \Rightarrow 0$ es un valor propio de $A$ .

3 votos

Podría ser útil añadir que v es un vector propio de A . Álgebra lineal básica, lo sé, pero apropiada dada la pregunta.

37voto

Fred Puntos 690

Dejemos que $p(x)=\det(A-xI)$ el polinomio char. de $A$ . Entonces $p(0)=\det(A)=0$ Por lo tanto $0$ es una raíz de $p$ y por tanto un valor propio de $A$ .

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Esto parece un poco circular. ¿Cómo sabes que una raíz de $p$ es un valor propio de $A$ ?

1 votos

@JiK: $A-\lambda I$ es singular si $\det (A-\lambda I ) = 0$ .

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@copper.hat No estoy seguro de seguirte. ¿Estás diciendo que el enfoque propuesto es partir del hecho de que $\lambda$ es un valor propio si $A-\lambda I$ es singular, entonces digamos que esto es equivalente a $\det (A - \lambda I) = 0$ , luego definir el polinomio característico, y finalmente ver que $0$ ¿es su raíz? Eso es un poco enrevesado, y la forma en que está escrita esta respuesta no explica realmente qué se deriva de qué.

15voto

Wade Mealing Puntos 111

No sé qué sabes sobre el determinante y cómo lo consideras, pero el determinante de una matriz cuadrada $A$ es cero si la matriz no es invertible, lo que equivale a que el núcleo no sea trivial, lo que significa que $Ax=0$ para algunos $x\ne0$ .

10voto

mbirth Puntos 11

Dado que la matriz $A$ sobre un campo y det $A$ es igual al producto de los valores propios, utilizando una propiedad del campo que si $ab=0 \Rightarrow$ o bien $a=0$ o $b=0.$

9voto

Suzet Puntos 298

El determinante de la matriz $A$ también es el determinante del endomorfismo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ (o más generalmente $k^n$ ) definida por la multiplicación por $A$ . Decir que $A$ tiene un determinante $0$ es decir que este endomorfismo no es inyectivo.

8 votos

Una pregunta seria: ¿En qué nivel de matemáticas estás y para qué nivel de matemáticas crees que es útil esta respuesta? Lo pregunto porque recuerdo la pregunta del OP de una clase de segundo grado de álgebra lineal y asumo que es ahí donde están.

5 votos

Bueno, ¿no es mi respuesta bastante elemental? La primera vez que aprendí sobre el determinante fue en mi primer año de licenciatura (en Francia), y primero se definió para endomorfismos con respecto a una base. Después, lo definimos para las matrices exactamente de la manera que he indicado en mi respuesta, y dedujimos todas las propiedades computacionales del determinante. Así que, desde mi punto de vista, acabo de utilizar la misma definición. También ahora, el OP se ha dado cinco respuestas diferentes utilizando diferentes nociones. Una de ellas al menos (si no todas) seguramente corresponderá a su nivel de comprensión.

5 votos

@Suzet Eso es interesante. En Estados Unidos, creo que es bastante común que los estudiantes de matemáticas trabajen por primera vez con vectores, matrices y determinantes alrededor de los 13-18 años. En ese momento los estudiantes podrían asociar la palabra "función" con la determinación del valor de $y$ dado un valor de $x$ o dibujar una función en un $x$ - $y$ gráfico, pero es probable que no muchos conozcan las palabras "endomorfismo" o "inyectivo".

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