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Demostrando una matriz es invertible ecuación dada (sin matriz de identidad)

Estoy dada una matriz cuadrada ${A}$ (3×3) y la siguiente ecuación ${A}^3-2017{A}^2 + {A} = {0}$ y tengo que encontrar si ${A}$ es invertible en algunos casos, no de los casos, o todos los casos.

Puedo encontrar a ${A}=0$ como una respuesta para la que no invertible caso, pero me parece que no puede resolver la ecuación. En la mayoría de los otros ejemplos que me he encontrado, hubo una matriz identidad, lo que hizo fácil para encontrar el invertible de ${A}$ así: ${A}*invertible=I$, pero este no es el caso aquí.

He intentado hacer esto: $A*(A*(-A+2017*I))=A*I$, pero creo que no se puede dividir ambas partes por ${A}$ porque no he probado ese ${A}$ es invertible.

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Landsailor Puntos 31

Trate de tomar $A$ a una matriz de la forma $\lambda I$, y el uso de la ecuación para determinar lo $\lambda$ debe ser.

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Manu De Buck Puntos 1

Supongamos que el $3X3$ de la matriz es: $$ A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} $$

El polinomio característico de a está dado por: $$\mu_A[x]=det(A - \lambda I_{3})$$ Si hacemos esto vamos a encontrar que el factor constante del polinomio característico de a es: $$ \mu_A[x]= ...\lambda^3 + ... \lambda^2 + ... \lambda + (-aei+: afh + bdi - bfg-hdc+ceg) $$ Como hemos determinado que el factor constante es igual a $0$ y sabemos que $$det(A) = det(A^t) = (-aei +afh + bdi - bfg-cdh+ceg)$$ Lo cual nos lleva al hecho de que $$det(A) = 0$$ Lo que significa que nunca es invertible.

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