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Declaración precisa de Legendre del teorema de los triángulos esféricos

Esta búsqueda de Libros de Google de búsqueda encuentra una página que dice esto:

74. El teorema de Legendre

${}\qquad\qquad{}$ Si cada uno de los ángulos de un triángulo esférico cuyo
los lados son pequeños en comparación con el radio de la esfera
ser disminuida en un tercio de la esférica exceso, el triángulo
puede ser resuelto como un avión triángulo cuyos lados son iguales a
los lados del triángulo esférico, y cuyos ángulos son estos
reducción de ángulos.

"Esférica exceso" significa el monto por el cual la suma de los tres ángulos supera la mitad de un círculo.

Del mismo modo impreciso declaraciones se encuentran por google. Los lados son "pequeña cuando se compara a", etc., y la solución es aproximada. Así que estoy pensando no debe ser algo que tal vez con un Landó poco-o, diciendo como el tamaño va a $0$, el error va a$0$, al igual que algunos de potencia del tamaño. Tal vez.

¿Alguien sabe de un matemáticamente precisa declaración de esta proposición?

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MaxB Puntos 212

Hay un artículo acerca de Legendre del teorema por Zbyněk Nádeník, teorema de Legendre en triángulos esféricos. El papel de los estados y demuestra varias versiones del teorema (con diferentes términos de error).

Como yo lo entiendo, esto es lo que Legendre originalmente demostrado (véase también Wikipedia para referencias históricas):

Teorema [Legendre, declaró en 1787, resultó en 1798]. Considere la posibilidad de un triángulo esférico con lados $a$, $b$, y $c$ y ángulos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$. A continuación, el plano del triángulo con los lados $a$, $b$, y $c$ tiene ángulos $\alpha'$, $\beta'$ y $\gamma'$:

\begin{align*} \alpha' &= \alpha - \varepsilon/3 + O(\varepsilon \cdot M^2),\\ \beta' &= \beta - \varepsilon/3 + O(\varepsilon \cdot M^2),\\ \gamma' &= \gamma - \varepsilon/3 + O(\varepsilon \cdot M^2), \end{align*} donde $\varepsilon = \alpha + \beta + \gamma - \pi$, $M = \max(a,b,c)/R$, y $R$ es el radio de la esfera. Tenga en cuenta que $\varepsilon = O(M^2)$.

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