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¿Podemos dividir dos vectores?

¿Podemos dividir dos cantidades vectoriales? Por ejemplo, la presión (un escalar) es igual a la fuerza (un vector) dividida por el área (un vector).

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Creo que en lugar de decir $w=\frac{\vec u}{\vec v}$ podríamos decir $w=\frac{\vec u}{v^2}\cdot\vec v$

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en el álgebra geométrica inducida por un producto interior (definido positivo), todos los vectores (distintos de cero) tienen un inverso; sólo que no es terriblemente interesante, ya que se trata del mismo vector, reescalado...

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Aunque hay una cosa que se llama sistema recíproco de vectores. Búscalo en Google.

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Nathan Feger Puntos 7675

No, en general no se puede dividir un vector por otro. Es posible probar que ninguna multiplicación de vectores en tres dimensiones se comportará lo suficientemente bien como para tener una división como la entendemos.

En cuanto a la fuerza, área y presión, la forma más fructífera es decir que la fuerza es área por presión: $$ \vec F=P\cdot \vec A. $$ Resulta que la presión no es en realidad un escalar sino una matriz (o, más técnicamente, un tensor de rango 2). Esto se debe a que, en ciertas situaciones, un área con su vector normal apuntando en el $z$ dirección también puede experimentar fuerzas a lo largo de $x$ y $y$ que se llaman esfuerzos de cizallamiento. En este caso, la relación lineal correcta es que $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_x & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & p_y & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & p_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}. $$ En un fluido, el esfuerzo de cizallamiento es cero y la presión es isotrópica, así que todo el $p_j$ s son iguales, y por lo tanto el tensor de presión $P$ es una matriz escalar. En un sólido, por otro lado, las tensiones de cizallamiento pueden ocurrir incluso en situaciones estáticas, por lo que se necesita la matriz completa. En este caso, la matriz se denomina tensor de tensión del sólido.

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¿Podría definir $$\frac{\vec{F}}{\vec{A}} := \mathbf{P}$$ tal que $\vec{F} = \mathbf{P} \vec{A}$ ?

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@ja72 No, no puedes .

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Es como tomar la derivada simbólica (jacobiana) donde $$P_{ij} = \frac{ \partial \vec{F}_i }{\partial A_j}$$

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unbeli Puntos 311

Como un aparte, en realidad puedes dividir dos vectores. La única pregunta es cómo quieres interpretar los objetos y, más importante aún, la operación.

Por ejemplo, puedes mapear los vectores de un objeto en el espacio de un cuaternario de forma muy simple como:

$$ \phi:V \rightarrow H: \vec{v} \mapsto (0,\vec{v}) , $$

y entonces la división está bien definida. Pero su respuesta será, en general, bastante obviamente, una cuaternión general $(r,\vec{u})$ y luego necesitas una interpretación física para esto.

En los detalles de su pregunta, verá, los objetos y la operación están fijados por la naturaleza. La fuerza y el área son vectores relacionados por un tensor llamado presión como:

$$ \vec{F} = P \vec{A}, $$

donde la operación de $P$ en $\vec{A}$ se define como la acción tensorial. En esta configuración no hay una forma única de definir la división de dos vectores para producir un tensor: la definición de la operación no admite ningún inverso sensato.

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nótese que los cuaterniones son una subálgebra del álgebra geométrica, donde la división de vectores es esencialmente (hasta la escala) lo mismo que la multiplicación (Clifford); la división de dos vectores no paralelos no ortogonales da como resultado un multivector de grado mixto con componentes escalares y pseudovectoriales

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@Christoph: gracias. Ignorando las imposiciones de la naturaleza, hay una rica estructura de álgebras sobre espacios vectoriales para las que la división está bien definida. Es algo muy interesante, pero no puedo pretender que conozca demasiado bien la mayor parte.

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Jim Puntos 16080

Para definir la división vectorial como el resultado escalar de un vector "dividido" por otro, donde el escalar por el vector denominador nos daría entonces el vector numerador, podemos escribir lo siguiente: \begin {alineado*} \vec u&=w \vec v \\ \vec u \cdot\vec v&=w \vec v \cdot\vec v \\ \therefore w&= \frac { \vec u \cdot\vec v}{v^2} \end {alineado*}

Las matemáticas para un cociente escalar funcionan. Esa es una forma de dividir un vector

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No veo nada malo en su respuesta.

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En el primer cálculo, no se especifica qué tipo de objeto matemático sería un cociente vectorial y qué tipo de producto se necesitaría para multiplicar dos de ellos juntos. Así que no está justificado que puedas convertir $\frac{\vec{u}}{\vec{v}}\cdot\frac{\vec{v}}{\vec{v}}$ en $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{v^2}$ .

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Ampliando el comentario de DavidZ, parece que estás definiendo la división vectorial utilizando la división vectorial con $\vec v/\vec v\equiv1$ . Una lógica bastante circular.

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Carl Norum Puntos 1856

Depende del contexto. La división suele definirse como la inversa de la multiplicación. Si

$$x\cdot\vec{v}=\vec{u}$$

entonces, si sólo hay un $x$ que satisface la relación anterior, se puede decir que $x=\frac{\vec{u}}{\vec{v}}$ .

El $x$ aquí puede ser escalar (por lo que se multiplicó el vector con el escalar) y sólo tiene sentido si se consideran los vectores que apuntan en la misma dirección.

$x$ podría ser una matriz y otras respuestas han mostrado casos en los que la matriz no es única.

$x$ también podría ser un vector y se podría considerar un punto o un producto cruzado. De nuevo hay casos en los que esto funciona y en los que no.

Así que no se puede dividir por nada, puede haber algunas divisiones que no se pueden definir, pero eso está bien - no se puede dividir por cero en realidad también. Sólo tienes que entender lo que estás haciendo y si lo inverso es único y si es definible en absoluto. Hay casos en los que la división vectorial tiene sentido y es útil.

Por ejemplo, consideremos la fuerza de Lorentz a la carga que se mueve en el campo magnético. $$\vec{F}=q \vec{v}\times\vec{B}$$

Si se puede medir la fuerza y una de las cantidades del lado derecho, la otra es la división (sin embargo, cuidado si es inversa de la multiplicación del lado derecho o izquierdo :)) de la fuerza y la cantidad medida del lado derecho.

Podría escribirse como $$\vec{v}=\frac{\vec{F}}{\vec{B}}(left)$$ donde "izquierda" y "derecha" es una cuestión de convención.

Sin embargo, como Jerry señaló, la solución no es única.

Así que siempre que puedas multiplicar, puedes comprobar si existe la inversa. Hay casos en los que no hay un único inverso, pero si hay uno, puedes llamarlo la división. Los vectores no están totalmente en un lado o en el otro, normalmente puedes encontrar un conjunto de vectores para los que cierta división es significativa.

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Su afirmación sobre el producto cruzado no es del todo correcta - si ${\vec F} = q{\vec v} \times {\vec B}$ para algunos $F,v,B$ entonces, para cada elección de $c$ También tiene ${\vec F} = q\left(c{\vec B} + {\vec v}\right)\times {\vec B}$ por lo que la división no será única.

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@JerrySchirmer oops, correcto. Sólo puedes determinar el componente que es normal para $\vec{B}$ . Gracias.

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Chris Kobrzak Puntos 46

Según el Página de Wolfram Mathworld

En general, no hay una solución matricial única para la ecuación matricial, $$\mathbf y=\mathbb A\mathbf x$$

A continuación se da un ejemplo de $\mathbf y=2\mathbf x=(2,4)$ en el que hay 3 soluciones diferentes.

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¿hay 3 soluciones, o infinitas soluciones de las que dan tres ejemplos?

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@DavePhD: Aunque la web no lo dice expresamente, creo que hay un número infinito de soluciones (o al menos extremadamente grande) y dan 3 ejemplos.

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Si te interesa saber cuántas soluciones hay, puedes tratarlo como un sistema lineal particular para los coeficientes de $\mathbb A$ .

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