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La involución en$L^{1}(G)$ es isométrica.

(Perdón por hacer tantas preguntas del mismo tipo. Hay un problema subyacente que creo que una vez resuelto me va a permitir entender todos a la vez.)

Deje $G$ ser localmente un grupo compacto, y $f\in L^{1}(G)$. Estoy tratando de verificar que $\|f^{*}\|_{p} = \|f\|_{p}$, donde la involución $*$ está definido por $f^{*}(x) = \delta(x)^{-1}\overline{f(x^{-1})}$.

Así que mis cálculos hasta ahora parecen:

\begin{eqnarray*} \int_{G}f^{*}(y)\mu(dy) &=& \int_{G}\left|\delta(y^{-1})\overline{f(y^{-1})}\right|^{p}\mu(dy)\\ &=& \int_{G}\delta(y^{-1})^{p}\left|\overline{f(y^{-1})}\right|^{p}\mu(dy)\\ \end{eqnarray*}

Aquí estoy atrapado en el problema central de la que me estoy enfrentando, donde los cálculos dejar de hacer sentido y me siento como sólo estoy tirando cosas a su alrededor con la esperanza de que sea verdad.

¿Cómo puedo utilizar la definición de la $\delta$ mapa:
$$\text{the unique group homomorphism }\delta:G\to(0,\infty)\text{ such that }\\\delta(x)\mu(E) = \mu(Ex)\text{ for all Borel sets }E$$

cuando su argumento no es independiente de la variable de integración?

Ted ya ha confirmado en su respuesta a:

Cómo utilizar el sistema modular de la función de un localmente compacto grupo?

que la definición de $\delta$ implica:

$$\int_{G}\delta(x)f(y)\mu(dy) = \int_{G}f(y)\mu(dy\cdot x)$$

Si trato de usar que paso en mi actual problema, termino con

\begin{eqnarray*} \int_{G}\delta(y^{-1})^{p}\left|\overline{f(y^{-1})}\right|^{p}\mu(dy) &=& \int_{G}\left|\overline{f(y^{-1})}\right|^{p}\mu(dy\cdot (y^{-1})^{p}) \end{eqnarray*} que no tengo ni idea de cómo interpretar, y sospecho que es malo. ¿Cuál es la forma correcta de manejar esta función? No sé qué medida asociar con la notación $\mu(dy\cdot (y^{-1})^{p})$.

Creo que la respuesta a esta pregunta es lo que realmente necesito para ser capaz de terminar las verificaciones a las que estoy trabajando.

Gracias a quien me pueda ayudar!

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Creo que puedes encontrar el último capítulo de Análisis Real por Folland útil (que cubre los fundamentos de Haar medidas). La manera en que yo lo pienso de ella, $\delta^{-1}$ es un factor que se adjunta a $\mu$ (a la izquierda Haar medida), no $f$. Para empezar, la medida de $\delta^{-1}\mu$ es derecho-invariante: $$\int_{E\,y}\delta(x)^{-1}\,d\mu(x)=\int_{E}\delta(xy)^{-1}\,\delta(y)\,d\mu(x)= \int_{E}\delta(x)^{-1} \,d\mu(x) $$ Y aquí es otra forma de obtener un derecho invariante medida de $\mu$. Deje $\iota:G\to G$ ser la inversión, $\iota(x)=x^{-1}$. Este es un anti-homomorphism, cambia el orden de la multiplicación del grupo. Por lo tanto, el pushforward $\iota^*\mu$ es un derecho Haar medida.

Hecho: $\delta^{-1}\mu = \iota^*\mu$.

Prueba. Ambos son derecho Haar medidas, por lo que uno es una constante múltiples de cada uno de los otros. Para ver que las múltiples deben ser $1$, considere la posibilidad de un simétrica barrio de identidad, llamado $U$, que es lo suficientemente pequeña para que $|\delta(x)^{-1}-1|<\epsilon$$x\in U$. ($U$ Existe porque el sistema modular de la función es continua.) Ahora, $\iota^*\mu(U)=\mu(U)$ por simetría, y también a $|\delta^{-1}\mu(U)-\mu(U)|<\epsilon \,\mu(U) $. Ya que la relación de $\iota^*\mu(U)$ $\delta^{-1}\mu(U)$puede hacerse arbitrariamente cerca de $1$, pero también es una constante (independiente de ot $U$), la proporción es de hecho $1$. $\Box$

El resto es una tautología de la abstracta teoría de la medida: $$\int (f\circ \iota) \,d\mu = \int f \,d (\iota^*\mu) \tag1$$ por lo tanto $$\int f(x^{-1})\,d\mu(x) = \int f(x)\,\delta(x)^{-1} \,d\mu(x) \tag2$$ En realidad, quiere poner a $f\circ \iota$ en lugar de $f$ aquí, por lo que el resultado es exactamente como debe ser: $$\int f(x )\,d\mu(x) = \int f(x^{-1})\,\delta(x)^{-1} \,d\mu(x) \tag3$$


Pero no creo que su construcción produce una isometría en $L^p$, al menos no como se indicó. La identidad (3) inmediatamente se generaliza a $$\int |f(x )|^p\,d\mu(x) = \int |f(x^{-1})|^{p}\delta(x)^{-1} \,d\mu(x) \tag4$$ but if you rewrite (4) by attaching $\delta^{-1}$ to $f$, it has to be raised to power $1/p$.

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