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¿Cuáles son las leyes de los exponentes racionales?

En Math SE, he visto varias preguntas relacionadas con lo siguiente. Al abusar de las leyes de los exponentes para obtener exponentes racionales, se puede llegar a cualquier número de aparentes paradojas, en las que un número parece mostrarse como igual a su opuesto (negativo). Posiblemente el ejemplo más conciso:

$-1 = (-1)^1 = (-1)^ \frac {2}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac {1}{2}} = ((-1)^2)^ \frac {1}{2} = (1)^ \frac {1}{2} = \sqrt {1} = 1$

De las siete igualdades de esta declaración, me avergüenza decir que no estoy totalmente seguro de cuál es la incorrecta. Restringiendo la discusión a los números reales y a los exponentes racionales, podemos mirar algunos libros universitarios de álgebra/precálculo y encontrar definiciones como la siguiente (aquí, Ratti & McWaters, Precálculo: un enfoque de triángulo recto sección P.6):

Ratti's definition of rational exponents Ratti's properties of rational exponents

Lo que parece más sospechoso en mi ejemplo anterior es la cuarta igualdad, $(-1)^{2 \cdot \frac {1}{2}} = ((-1)^2)^ \frac {1}{2}$ que parece violar el espíritu de la definición de Ratti de exponentes racionales ("no hay factores comunes")... pero técnicamente, esa traducción de exponente racional a expresión radical no fue usada como este punto. Más bien, seguimos manipulando sólo los exponentes racionales, lo que parece cumplir totalmente con la segunda propiedad de Ratti: $(a^r)^s = a^{rs}$ donde, de hecho, "se definen todas las expresiones utilizadas". El cambio de exponente racional a expresión radical (mediante la definición de exponente racional) no se produce realmente hasta la sexta igualdad, $(1)^ \frac {1}{2} = \sqrt {1}$ y eso parece ser innegablemente una declaración verdadera. Así que estoy un poco perplejo en exactamente donde se encuentra la falsedad.

Podemos encontrar definiciones efectivamente idénticas en otros libros. Por ejemplo, en el de Sullivan Álgebra de la universidad su definición es (sec. R.8): "Si $a$ es un número real y $m$ y $n$ son números enteros que no contienen factores comunes, con $n \ge 2$ entonces: $a^ \frac {m}{n} = \sqrt [n]{a^m} = ( \sqrt [n]{a})^m$ siempre y cuando $ \sqrt [n]{a}$ existe"; y afirma brevemente que "las Leyes de los Exponentes se aplican a los exponentes racionales", pero todos los ejemplos se limitan a las variables positivas únicamente. OpenStax Álgebra de la universidad hace lo mismo (sec. 1.3): "En estos casos, el exponente debe ser una fracción en términos más bajos... Todas las propiedades de los exponentes que aprendimos para los exponentes enteros también se aplican a los exponentes racionales".

Entonces, ¿cuáles son exactamente las restricciones de las Leyes de los Exponentes en el contexto de los números reales, con exponentes racionales? Como un ejemplo, ¿hay alguna razón que falte en los textos anteriores por la que $(-1)^{2 \cdot \frac {1}{2}} = ((-1)^2)^ \frac {1}{2}$ es una declaración falsa, o es una de las otras igualdades que falla?


Editar: Alguna literatura que discute este tema:

  • Goel, Sudhir K., y Michael S. Robillard. "La ecuación": $-2 = (-8)^ \frac {1}{3} = (-8)^ \frac {2}{6} = [(-8)^2]^ \frac {1}{6} = 2$ ." Estudios Educativos en Matemáticas 33.3 (1997): 319-320.

  • Tirosh, Dina y Ruhama Even. "Definir o no definir: El caso de $(-8)^ \frac {1}{3}$ ." Estudios Educativos en Matemáticas 33.3 (1997): 321-330.

  • Choi, Younggi y Jonghoon Do. "La igualdad implicada en 0.999... y $(-8)^ \frac {1}{3}$ " Para el aprendizaje de las matemáticas 25.3 (2005): 13-36.

  • Woo, Jeongho y Jaehoon Yim. "Revisando 0.999... y $(-8)^ \frac {1}{3}$ en matemáticas escolares desde la perspectiva del principio de permanencia algebraica". Para el aprendizaje de las matemáticas 28.2 (2008): 11-16.

  • Gómez, Bernardo y Carmen Buhlea. "La ambigüedad del signo √." Actas del Sexto Congreso de la Sociedad Europea de Investigación en Educación Matemática. 2009.

  • Gómez, Bernardo. "Conflictos históricos y sutilezas con el signo √ en los libros de texto." 6ª Universidad Europea de Verano de Historia y Epistemología de la Educación Matemática . HPM: Universidad Tecnológica de Viena, Viena, Austria (2010).

13voto

David Puntos 505

Has puesto el dedo en la llaga precisamente en la afirmación que es incorrecta.

Hay dos convenciones que compiten con respecto a los exponentes racionales.

La primera convención consiste en definir el símbolo $a^x$ para $a > 0$ sólo. El símbolo $\sqrt[n]{a}$ se define para valores negativos de $a$ siempre y cuando $n$ es impar, pero según esta convención, no se escribiría $a^{1/n}$ por ejemplo.

Al definir $a^{p/q}$ para ser $(\sqrt[q]{a})^p$ el autor que citó eligió la fracción $p/q$ para que la definición sea inequívoca. Por ejemplo, $a^{10/15}$ se define como $(\sqrt[3]{a})^2$ . Sin embargo, es preferible definir $a^{p/q}$ para ser $(\sqrt[q]{a})^p$ en todos los casos y demostrar que esta definición es independiente de la representación particular elegida para $p/q$ ; esto es lo que suelen hacer los libros más rigurosos. Es decir, se demuestra que si $p/q = r/s$ entonces $(\sqrt[q]{a})^p = (\sqrt[s]{a})^r$ . No se menciona la forma más baja.

La convención de la competencia es permitir también $a^x$ que se definirá para todos los $a \ne 0$ y todos los números racionales $x = p/q$ que tienen al menos una representación con un denominador impar. Entonces se demuestra que $(\sqrt[q]{a})^p$ es independiente de la representación particular $p/q$ elegido, siempre que el denominador sea impar. Así, se puede escribir $a^{3/5} = (\sqrt[5]{a})^3 = (\sqrt[15]{a})^{9} = a^{9/15}$ . Todo eso está bien. Sin embargo, no se puede escribir $a^{6/10} = (\sqrt[10]{a})^6$ o incluso $a^{6/10} = \sqrt[10]{a^6}$ . El número $a^{6/10}$ está bien definida, pero para escribir su definición, primero hay que seleccionar una fracción equivalente a $6/10$ que tiene un denominador impar, que podría ser $3/5$ o $9/15$ o cualquier otra cosa. Para $a^{1/2}$ Esto no se puede hacer en absoluto, así que $a^{1/2}$ es indefinido para $a < 0$ .

Las reglas de los exponentes se rompen si se empieza a permitir $a < 0$ y exponentes que no se pueden escribir con un denominador impar. Por ejemplo, la regla $a^{xy} = (a^x)^y$ es válido, pero sólo mientras $x$ y $y$ son ambos números racionales que se pueden escribir con un denominador impar. Este no es el caso si se escribe $a^1 = (a^2)^{1/2}$ a pesar de que ambos lados de la ecuación están definidos desde $a^2 > 0$ .

7voto

CallMeLaNN Puntos 111

$-1 = (-1)^1 = (-1)^\frac{2}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2} = (1)^\frac{1}{2} = \sqrt{1} = 1$

Lo que parece más sospechoso en mi ejemplo anterior es la 4ª igualdad, $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2}$ , lo que parece violar el espíritu de la definición de Ratti de los exponentes racionales ("sin factores comunes")... pero técnicamente, esa traducción de exponente racional a expresión radical no se utilizó como este punto.

La 4ª igualdad es, efectivamente, sospechosa, pero no por la razón que sugieres. Es una aplicación de la 2ª propiedad de los exponentes racionales que enumeras arriba:

Si $r$ y $s$ son números racionales y $a$ es un número real, entonces tenemos $$(a^r)^s = a^{r\cdot s}$$

siempre que todas las expresiones utilizadas estén definidas.

Más formalmente y menos ambiguo sería:

$$\forall r,s \in \mathbb{Q}\colon \forall a \in \mathbb{R}\colon [a^r\in \mathbb{R} \land a^s\in \mathbb{R} \implies (a^r)^s=a^{r\cdot s}]$$

Esta afirmación deja claro que no podemos inferir $((-1)^2)^\frac{1}{2}=(-1)^{2 \times \frac{1}{2}}$ como en la "paradoja" porque $(-1)^\frac{1}{2} \notin \mathbb R$ es decir, porque $(-1)^\frac{1}{2}$ no está definido.

Que ambas restricciones son necesarias se desprende del hecho de que debemos tener $a^{r\cdot s}=a^{s\cdot r}=(a^s)^r=(a^r)^s$ . Si tuviéramos $a^s \notin \mathbb{R}$ no pudimos hacer esta sustitución.

Teniendo esto en cuenta, podríamos replantear la regla de la siguiente manera:

$$\forall r,s \in \mathbb{Q}\colon \forall a \in \mathbb{R}\colon [a^r\in \mathbb{R} \land a^s\in \mathbb{R} \implies a^{r\cdot s}=(a^r)^s=(a^s)^r]$$


Aunque no tiene nada que ver con la resolución de la paradoja, es posible que también tengamos que definir $x^\frac{1}{n}$ de la siguiente manera:

$\forall x,y\in \mathbb{R}\colon\forall n\in \mathbb{N}\colon [Odd(n)\lor Even(n) \land n\neq 0 \land y\geq 0\implies [x^\frac{1}{n} =y\iff x=y^n ]]$

Utilizando esta regla, podríamos deducir que $4^\frac{1}{2}=2$ pero no $4^\frac{1}{2}=-2$ .


Por cierto, en cuanto a $\frac{m}{n}$ que se encuentra en términos más bajos, la definición dada parece un poco descuidada. No puede ser, por ejemplo, que $4^\frac{2}{4}$ es indefinido cuando $4^\frac{2}{4}= 4^\frac{1}{2}$ mediante la sustitución de $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ . Realmente no creo que esta noción pueda ser fuente de la paradoja.

6voto

Derek Elkins Puntos 417

La cuestión es que $a^{\frac{1}{n}}$ es multivalente. Se podría simplificar el primer cálculo en $1 = \sqrt{1} = -1$ . Tomando diferentes cortes de rama es como surge la "paradoja".

Esencialmente, en el contexto de los reales (o incluso de los números complejos) $\sqrt{a}$ es un nombre para dos funciones, por ejemplo $\sqrt[+]{a^2} = a$ y $\sqrt[-]{a^2} = -a$ . Todas las leyes están bien, siempre y cuando seas coherente con tu elección. (Como alternativa, al pasar a un Superficie de Riemann bueno, tienes que decidir cuándo y cómo vas a incrustar tus reales en la superficie de Riemann, pero una vez que lo haces, no hay más opciones).

Cuando las raíces cuadradas entraron en escena - se puede decir que en $-1 = (-1)^{\frac{2}{2}}$ o en $((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ - eligió explícitamente, yendo de izquierda a derecha, la opción no estándar de $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[-]{a}$ . Si eligió la opción estándar que utiliza más tarde entonces, $-1 = -(-1)^{\frac{2}{2}} = -((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ y todo se solucionaría. Si era coherente con la elección de $\sqrt[-]{}$ entonces $\sqrt{1} = \sqrt[-]{1} = -1$ también habría llevado a un resultado correcto.

Trasladando mi comentario a la respuesta, una fuente crucial de confusión es que la definición de $a^{\frac{m}{n}}$ no es una función bien definida de los racionales en el sentido de que no respeta la igualdad de los racionales. Esto lo atestigua la necesidad de $\frac{m}{n}$ en términos más bajos, y, lo que es relevante aquí, el hecho de que $1 = \frac{n}{n}$ hace no implica $a^1 = a^{\frac{n}{n}}$ . De hecho, la falta de definición de $a^\frac{m}{n}$ es totalmente reducido a la cuestión de qué $a^\frac{n}{n}$ es.

Así que para ponerlo en términos de reglas: todas las reglas son válidas, lo que es inválido es cancelar los factores comunes en un exponente "racional" porque los exponentes no son realmente números racionales.

2voto

Daniel R. Collins Puntos 1497

No hay una definición continua de $a^r$ se puede hacer para todos los reales $a$ y $r$ y, del mismo modo, las propiedades conocidas de los exponentes no pueden extenderse de forma coherente a todas las bases y potencias reales. En consecuencia, hay varias definiciones que compiten entre sí para $a^r$ para valores no enteros $r$ dependiendo de cuánto desee el autor ampliar estas propiedades y en qué dirección. Aquí hay algunas cosas que podemos decir positivamente para una identidad como $(a^r)^s = a^{rs}$ :

  • Es cierto para todos los números naturales $a$ , $r$ y $s$ .
  • Esto es cierto para todos los $r$ y $s$ y todos los números reales $a$ .
  • Es cierto para todos los enteros $r$ y $s$ y todos los reales no nulos $a$ .
  • Esto es cierto para todos los verdaderos $r$ y $s$ y todos los reales positivos $a$ .

Teniendo en cuenta el último punto, algunos autores amplían la definición de valor real de $a^r$ (y por lo tanto las propiedades relacionadas) a los reales negativos $a$ y racionales no enteros $r$ (mientras que otros no); pero esta es una definición bastante frágil, ya que para estar bien definida requiere $r = m/n$ para ser escrito en términos más bajos, e incluso entonces será indefinido para incluso $n$ . Uno de los mayores problemas de este enfoque es que un "principal" de valor real $n$ raíz" dará resultados contradictorios a la "principal" de valor complejo $n$ raíz" para las bases negativas. Por ejemplo, si se da una definición de valor real, entonces $(-8)^{1/3} = -2$ pero con la definición estándar de valores complejos, $(-8)^{1/3} = 1 + \sqrt{3}i$ . Esto parece crear cierta confusión cuando se discute el tema en diferentes contextos. Podría decirse que sería mejor abstenerse de esa extensión tan limitada en reales, para no entrar en conflicto con la definición más general de valor complejo. (Véanse los artículos citados en la pregunta anterior para ver algunos debates publicados sobre la conveniencia de utilizar esa definición en valores reales para bases negativas y exponentes no enteros).

En cuanto al ejemplo de la pregunta, casi todo el mundo está de acuerdo en que $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} \ne ((-1)^2)^\frac{1}{2}$ si se simplifican ambos lados en el orden estándar de las operaciones; y esto pone de manifiesto el hecho de que la identidad $(a^r)^s$ = $a^{rs}$ no es verdadera sin restricciones. Las restricciones exactas que hay que respetar dependen de las definiciones que se utilicen en un libro de texto concreto. En el caso de Ratti, podríamos rescatar la presentación interpretando la cláusula "siempre que todas las expresiones utilizadas estén definidas" en el sentido amplio de cada expresión dentro de la caja (no sólo la identidad que se utiliza), y como $a^s$ aparece en otros lugares de la caja, y $(-1)^\frac{1}{2}$ es ciertamente indefinido en números reales, entonces la afirmación $((-1)^2)^\frac{1}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}}$ (la 4ª igualdad) quedaría así proscrita.

1voto

Yves Daoust Puntos 30126

$(a^r)^s=a^{rs}$ puede ser efectivamente falso para $a<0$ como muestra su ejemplo.

Puede "rescatar" esta regla indicando en su lugar $(a^r)^s=a^{rs}=(a^s)^r$ siempre que todas las expresiones utilizadas estén definidas. (Como el producto es conmutativo, no se puede distinguir realmente $r$ y $s$ .)

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