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¿Qué es una base para el espacio vectorial de las funciones continuas?

Un natural de espacio vectorial es el conjunto de funciones continuas en $\mathbb{R}$. Hay una buena base de este espacio vectorial? O es esta una de esas situaciones en las que nos tiene garantizada una base invocando el Axioma de Elección, pero se deja más satisfecho?

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Matt Dawdy Puntos 5479

Hay, de una manera bastante fuerte sentido, no hay una base de este espacio. Zoom en un barrio en cualquier momento y tenga en cuenta que un número finito de combinaciones lineales de las funciones que tienen varios tipos de buen comportamiento en el barrio también tiene ese buen comportamiento en ese barrio (diferenciable, $C^k$, suave, etc.). Por lo que cualquier base necesariamente contiene, para cada barrio, una función que no se comporta muy bien en el barrio. De manera más general, pero a grandes rasgos, la base debe tener funciones que son al menos tan patológico como la mayoría de los patológicos funciones continuas.

(Hamel / algebraica) de las bases de la mayoría de dimensiones infinitas espacios vectoriales simplemente no son útiles. En las aplicaciones, las distintas topologías que se pueden poner en una cosa importa mucho y la noción de una base de Schauder se vuelve más útil.

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DanV Puntos 281

El uso de Nate Eldredge del comentario tenemos que $C(\mathbb R)$ es un polaco espacio vectorial.

Considere la posibilidad de un Solovay modelo, que es ZF+DC+"Todos los conjuntos tienen la propiedad de Baire". En el modelo como todos los lineales de los mapas en separables espacios vectoriales son continuas, esto es una consecuencia de [1, Th. 9.10].

Es importante remarcar que una función continua (de$\mathbb R$$\mathbb R$) de un conjunto compacto es uniformemente continua es un resultado que no requieren ninguna forma de elección, y creo que es Dependiente de la Elección (DC) asegura que converge uniforme sobre compactos conjuntos se porta bien.

Supongamos que hay una base de Hamel, $B$, tiene que ser de cardinalidad $\frak c$. Así ha $2^\frak c$ muchas permutaciones, que inducen $2^\frak c$ diferentes lineal de automorfismos.

Sin embargo, cada lineal automorphism es automáticamente continua, por lo que se determina completamente por los contables denso conjunto, y por lo tanto sólo puede ser $\frak c$ muchos lineal automorfismos que es una contradicción a la del teorema de Cantor desde $\mathfrak c\neq 2^\frak c$.

Este es esencialmente el mismo argumento que he utilizado en esta respuesta.


Bibliografía:

  1. Kechris, A. Clásico Descriptivo De La Teoría De Conjuntos. Springer-Verlag, 1994.

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Silver Gun Puntos 25

Voy a usar la fe para creer que estamos en una de esas situaciones describir por el axioma de elección ; tenía un descubierto una útil base de este espacio vectorial, que sería conocido por todo el lugar. Lo mejor que tienen como base la derecha ahora, (y la palabra "mejor" significa "mi creencia, la que parece la más bonita') es el hecho de que las funciones de $e^{inx}$ $n \in \mathbb Z$ son una base del espacio de $L^2([a,b])$ $\mathbb C$valores de las funciones. Para las funciones con valores reales, tomar las funciones de $\sin(nx)$ $\cos(nx)$ como su base.

Alguien que me ayude aquí ; sé que la idea de base de la que yo hablo aquí está bien definido, es decir, que podemos decir que una serie infinita representa el elemento del espacio vectorial si la serie infinita converge. Evidentemente, esto no es una base de Hamel, donde nos requieren la combinación lineal finita. Hay un nombre para este tipo de espacio? Al principio pensé que el nombre de Hamel fue dado a este infinito-convergencia-noción de base, pero ahora me doy cuenta de que la Hamel nombre fue dado a la algebraica.

Espero que ayude,

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