Propiedades de tirar de espaldas de formas

Question

Decir que tengo una incrustación: $f: X\to Y$ y un formulario de no desapareciendo de la $\omega$ $Y$. ¿Hay condiciones en $f$ para que el % de pull-back $f^* \omega$desaparece por todas partes?

¿O en un caso concreto, decir $\omega$ es la forma no trivial de la curvatura de un haz de línea en $Y$, cuando hace $f^* \omega$ desaparece?

Answer 1

No estoy seguro de si hay una respuesta general. Voy a dar dos ejemplos de la geometría simpléctica a continuación. Su ejemplo específico en la curvatura formas parece que debería ser un estándar de resultado, pero no sé que fuera de la parte superior de mi cabeza; tal vez alguien puede venir y arrojar algo de luz sobre el mismo.

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Antecedentes: Un simpléctica colector es un par $(M, \omega)$ consiste en un suave colector $M$ y una cerrada, no degenerada $2$forma $\omega \in \Omega^2(M)$; tales formas de atención de llamadas simpléctica formas. Simpléctica colectores son necesariamente ni siquiera dimensiones (en orden para la no degeneración condición de ser, posiblemente, satisfecho). Si $X$ es un buen colector y $$f: X \longrightarrow M$$ es una incrustación, a continuación, $X$ se llama un Lagrangiano submanifold de $M$ si $f^\ast \omega = 0$$\dim(X) = \frac{1}{2} \dim(M)$. Si $(M_1, \omega_1)$ $(M_2, \omega_2)$ son dos simpléctica colectores, un diffeomorphism $$\varphi: M_1 \longrightarrow M_2$$ se llama symplectomorphism si $\varphi^\ast \omega_2 = \omega_1$.

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Ejemplo 1: Si $X$ es cualquier liso colector, la cotangente del paquete de $T^\ast X$ $X$ natural que forma simpléctica $\omega_{\text{can}} = - d\lambda$ donde $\lambda$ $1$- forma en $T^\ast X$ definido por pointwise $$\lambda_{(x,\xi)} = d\pi_{(x,\xi)}^\ast \xi$$ para cualquier $(x, \xi) \in T^\ast X$, donde $$\pi: T^\ast X \longrightarrow X$$ es el paquete de proyección. Si $\alpha \in \Omega^1(X)$ cualquier $1$-forma en $X$, entonces podemos definir una incrustación de $X$ a $T^\ast X$ por $$f_\alpha: X \longrightarrow T^\ast X,$$ $$x \mapsto (x, \alpha_x).$$ Escribir $X_\alpha$ para la imagen de $X$ bajo $f_\alpha$.

Teorema. Deje $\alpha \in \omega^1(X)$. A continuación, $X_\alpha$ es una de Lagrange submanifold de $(T^\ast X,\omega_\text{can})$ si y sólo si $\alpha$ es cerrado.

Ver mi respuesta aquí para la prueba y obtener más detalles. Así que aquí podemos ver que $f^\ast_\alpha \omega_{\text{can}} = 0$ si y sólo si $d\alpha = 0$.

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Ejemplo 2: Vamos a $(M,\omega)$ ser cualquier simpléctica colector. A continuación, $(M \times M,\omega \oplus -\omega)$ es un simpléctica colector, donde $$\omega \oplus -\omega = \mathrm{pr}_1^\ast \omega - \mathrm{pr}_2^\ast \omega.$$ Vamos $$\varphi: M \longrightarrow M$$ ser un diffeomorphism. Entonces podemos definir una incrustación de $M$ a $M \times M$ por $$f_\varphi: M \longrightarrow M \times M,$$ $$x \mapsto (x, \varphi(x)).$$ Escribir $M_\varphi$ para la imagen de $M$ bajo $f_\varphi$.

Teorema. $\varphi$ es un symplectomorphism si y sólo si $M_\varphi$ es una de Lagrange submanifold de $(M \times M, \omega \oplus -\omega)$.

Prueba. Tenemos que \begin{align*} f_\varphi^\ast (\omega \oplus -\omega) & = f_\varphi^\ast \mathrm{pr}_1^\ast \omega - f_\varphi^\ast \mathrm{pr}_2^\ast \omega \\ & = (\mathrm{pr}_1 \circ f_\varphi)^\ast \omega - (\mathrm{pr}_2 \circ f_\varphi)^\ast \omega \\ & = \mathrm{Id}^\ast_M \omega - \varphi^\ast \omega \\ & = \omega - \varphi^\ast \omega. \end{align*} Por lo $M_\varphi$ es de Lagrange si y sólo si $f_\varphi^\ast (\omega \oplus -\omega) = 0$, lo cual es cierto si y sólo si $\omega - \varphi^\ast \omega = 0$, o en otras palabras $$\omega = \varphi^\ast \omega,$$ de modo que $\varphi$ es un symplectomorphism.

Así que aquí podemos ver que el pullback ser idéntica a cero depende de $\varphi$ la preservación de la forma simpléctica, que parece ser, fundamentalmente, una razón diferente que el anterior ejemplo. Esto me hace creer que en general una respuesta no podría ser posible.