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Para que espacios topológicos $X$ se puede escribir $X \approx Y \times Y$? Es $Y$ único?

Bajo qué condiciones la topología de un espacio determinado $X$ puede ser escrito como el producto de espacio $Y\times Y$ por algún otro espacio topológico $Y$. Permite llamar a dicho espacio de $Y$ una raíz cuadrada de X. a Continuación, dado que la raíz cuadrada de $X$ existe es único (a menos de isomorfismo topológico) ?

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DiGi Puntos 1925

No estoy del todo seguro de que hay una buena respuesta a la primera pregunta, pero la respuesta a la segunda es no: hay no homeomórficos espacios con homeomórficos plazas. En este papel, M. M. Marjanović y Ante R. Vučemilović construir un par de no-homeomórficos contables metrizable espacios cuyas plazas son homeomórficos.

Añadido: creo que la pregunta es originalmente por S. Ulam, y que en el primer ejemplo se encuentra en R. H. Fox, En un problema de S. Ulam relativas a los productos Cartesianos, Fondo. De matemáticas. 34 (1947), 278-287; enlace.

4voto

Andy Puntos 21

Aquí es una condición necesaria para que un espacio para tener una raíz cuadrada. Por el Künneth teorema, si $X=Y\times Y$, con respecto a un campo $F$, debemos tener $H_k(X;F)=\bigoplus_{i+j=k}H_i(Y;F)\otimes H_j(Y;F)$. Por lo tanto, la asociación para el espacio de $X$ la secuencia de los números de betti $b_i(X;F)=\dim_F H_i(X;F)$, debemos tener la secuencia de $(b_i)$, si consta de finito de números, debe ser la convolución de la plaza de otra secuencia de enteros no negativos.

Si hay sólo un número finito distinto de cero de los números de betti de $X$, entonces el problema de la existencia de una convolución de la raíz cuadrada es la misma que la determinación de si un polinomio tiene un polinomio de la raíz cuadrada con un número entero no negativo de los coeficientes. Si hay infinitamente muchos no-cero de los números de betti, el problema se convierte en uno relacionado con la raíz cuadrada de la potencia de la serie, y no estoy seguro de si hay una manera fácil para hacer frente a esa.

En cualquier caso, esto le da el buen resultado que un extraño dimensiones compactas colector no puede tener una raíz cuadrada.

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