Un ejemplo de un Anillo con muchos divisores de cero

Question

Hay un ejemplo de un anillo conmutativo $R$ con identidad tal que todos sus elementos distintos de a $1$ cero divisores?

Yo sé que en un anillo finito todos los elementos son las unidades o cero divisores. Hay un número finito de anillo con la propiedad de que he requerido?

Obviosuly estoy exigiendo que $|R|\geq 3$.

Answer 1

¿Qué acerca de todas las funciones de$\mathbb Z$$\mathbb Z/2\mathbb Z$? Es un anillo mediante la adición y la multiplicación de $\mathbb Z/2\mathbb Z$. La identidad es la función $f(x)=\overline 1$ $\forall$ $x$. Cada función es, obviamente, un divisor de cero.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si $\,1\,$ es la única unidad, a continuación, $\,-1 = 1\,$ por lo que el anillo es un álgebra sobre $\,\Bbb F_2.\,$ Con eso en mente, ahora es fácil de construir muchos ejemplos.

Tales anillos conmutativos, en donde cada elemento de a $\ne 1$ es un cero divisor fueron llamados a $0$-anillos por Pablo M. Cohn. Claramente se incluyen Booolean anillos, es decir, anillos, donde cada elemento es idempotente $\,x^2-x,\,$ desde entonces $\,x(x-1) = 0.\,$ Kaplansky le preguntó acerca de la existencia de la no-Boolean $0$-anillos. Pablo M. Cohn respondió a la pregunta en Anillos de Cero divisores. Allí se dio una simple prueba de que cada anillo conmutativo R puede ser embebido en un anillo conmutativo S tales que cada elemento es una unidad de R o cero divisor (y si R es un álgebra sobre un campo F lo es S). La prueba demuestra, además, que cada apropiado ideal de R sobrevive (sigue siendo adecuada) en S, con no trivial de annihilator. Cohn, a continuación, se procedió a probar

${\bf Theorem\ 3\,\ }$ Deje $R\,$ ser un álgebra sobre$F$, en la que cada elemento no en $F$ es un cero divisor. A continuación, $R$ es un subdirect producto de la extensión de los campos de $F,\,$ y cada una de las $\,x\in R\,$ que no está en $\,F\,$ es trascendental $F$, excepto si $\,F = \Bbb F_2$ $\,x\,$ es idempotente. Por otra parte, si $R$ tiene dimensión finita sobre $F$ entonces $R=F$ o $R\,$ es un álgebra Booleana.

Answer 3

En cualquier anillo booleano (con identidad), la única unidad es la identidad.

Así, en particular, $\prod_{i\in I} F_2$ para cualquier vacío conjunto de índices $I$, y el campo de dos elementos $F_2$. De hecho, cualquier sub-anillo (con identidad) de un anillo de trabajo.

Answer 4

Sin embargo, otro anillo isomorfo a Gregorio respuesta que me parece que vale la pena mencionar: $$(\mathcal{P}(\mathbb{Z}), \Delta, \cap),$$ where $\Delta$ is symmetric difference. Not surprisingly, $\mathbb{Z}$ se puede reemplazar con cualquier conjunto.