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¿Cómo se puede probar que la raíz cúbica del 9 es irracional?

Por supuesto, si conectas la raíz cúbica del 9 a una calculadora, obtienes un flujo interminable de dígitos. Sin embargo, ¿cómo se demuestra esto en el papel?

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Rob Lachlan Puntos 7880

Supongamos que $9^{1/3}=m/n$ con $m$ , $n$ números enteros con ${\rm GCD}(m,n)=1$ . Esto puede suponerse porque si $d$ es un divisor entero de ambos $m$ y $n$ Entonces $m/n=(m/d)/(n/d)$ . Luego $$ 9n^3=m^3 $$ para que $3$ divide $m^3$ Por lo tanto $m$ desde $3$ es primordial. Así, $3^3=27$ divide ambos lados de la igualdad para que $3$ divide $n^3$ Por lo tanto $n$ por la misma razón que arriba. Esto contradice la suposición de que $m$ y $n$ son coprimas.

Este argumento se generaliza inmediatamente para mostrar que el $n$ -la raíz de un número entero que no es un $n$ -el poder de un entero no es racional.

11voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Por la prueba de la raíz racional, si $$P(x) = a_nx^n+\cdots +a_0$$ es un polinomio con coeficientes enteros, y $\frac{u}{v}$ es un número racional con $\gcd(u,v)=1$ de tal manera que $P(\frac{u}{v})=0$ Entonces $u$ divide $a_0$ y $v$ divide $a_1$ .

(Esto es válido para cualquier dominio GCD, incluso si no hay una factorización única en los primos)

(Si no entiendes el último comentario entre paréntesis, no te preocupes; es un guiño a los que saben algo más de álgebra abstracta)

Mira $x^3-9$ . Si $\frac{u}{v}$ es una raíz, entonces $$\begin{align*} \frac{u^3}{v^3}-3&=0\\ \frac{u^3}{v^3} &=9\\ u^3&=9v^3\\ v^3 &\text{divides }u^3\\ v &\text{divides }u^3\\ v &\text{divides }1 &&\text{(since }\gcd(u,v)=1\text{)} \end{align*}$$ por lo tanto cualquier raíz racional debe ser un número entero.

Pero si $a$ es un entero positivo, $a\leq 2$ implica $a^3\leq 8$ y $a\geq 3$ implica $a^3\geq 27$ . Así que no hay números enteros con el cubo $9$ .

Más generalmente, si miras $x^n-b$ con $b$ un entero, tiene raíces racionales si y sólo si tiene raíces enteras, si y sólo si $b$ es un perfecto $n$ el poder.

De manera aún más general, las raíces racionales de polinomios monos con coeficientes enteros ("monic" significa "coeficiente de avance igual a $1$ ) son necesariamente enteros (y deben dividir el término constante).

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Alejandro DC Puntos 156

Supongamos que la raíz cúbica de $9$ es racional, entonces puede ser escrito como $p/q$ para los números enteros $p$ y $q$ de tal manera que $p$ y $q$ no comparten ningún divisor común.

$$\begin{align*}(p/q)^3 &= 9\\ &\implies (p^3)/(q^3) = 9\\ &\implies p^3 = 9 * (q^3) \end{align*}$$

Ahora, $p$ debe ser un múltiplo de $3$ si no $p^3$ no sería un múltiplo de 3 (o 9). Deje que $r$ ser el número entero de tal manera que $(3r)^3 = p^3$

Así que.., $$\begin{align*} (3r)^3 &= 9(q^3)\\ &\implies 3 * 3 * 3 * r^3 = 9(q^3)\\ &\implies q^3 = 3 r^3 \end{align*}$$ por lo tanto $q$ es también un múltiplo de $3$ .

Si $p$ y $q$ son ambos múltiplos de $3$ Entonces $p/q$ no es la forma más simple de expresar la raíz cúbica de $9$ y por eso tenemos una contradicción.

Por lo tanto, la raíz cúbica de $9$ debe ser irracional

2voto

FuzzyQ Puntos 200

Esta es esencialmente la misma prueba que di en mi respuesta aquí .

Supongamos que $9^{\frac{1}{3}}$ es racional. Entonces $3^2n^3 = m^3$ para algunos números naturales $n$ y $m$ . En el lado izquierdo de la ecuación, el poder de $3$ es de la forma $3k + 2$ y en el lado derecho es de la forma $3l$ . Esto es una contradicción, porque cada número entero mayor que uno tiene una factorización primaria única por la teorema fundamental de la aritmética . Así $9^{\frac{1}{3}}$ no es racional.

Esta misma prueba también funciona para un caso más general. Deje que $p$ ser el primero y $n \geq 2$ un número entero. Luego $\sqrt[n]{p^k}$ es irracional cuando $n$ no divide $k$ . Al igual que antes, asumiendo que $\sqrt[n]{p^k}$ es racional conduce a una situación en la que tenemos un número con dos factorizaciones primarias diferentes. Una factorización tiene $p$ de poder divisible por $n$ mientras que el otro tiene $p$ de poder no divisible por $n$ .

0voto

rtybase Puntos 430

Típicamente uso el teorema de Bézout http://mathworld.wolfram.com/BezoutsTheorem.html . Y aquí hay un ejemplo de cómo usarlo http://rtybase.blogspot.com/2011/06/regarding-square-root-of-n.html que puede ser fácilmente extrapolado a un caso más general.

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