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grupo de isometría de la variedad riemanniana$\mathbb{T}^2$?

¿Cuál es el grupo de isometría de la variedad riemanniana$\mathbb{T}\times \mathbb{T}$ donde$\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}\ :\ |z|=1\}$ es el toro clásico?

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guruz Puntos 1129

Me gustaría complementar Jason excelente y detallada respuesta señalando que el estabilizador de un punto que se calcula es el diedro grupo $D_8$ completo y el grupo de isometría no es $D_8\times \mathbb T^2$ como él lo adivinó, pero en realidad el semidirect producto $D_8\rtimes_\varphi \mathbb T^2$ donde $\varphi\colon D_8\to Aut(\mathbb T^2)$ el más evidente es el mapa. Usted puede ver que no es un producto directo mediante el cálculo de un ejemplo sencillo. Dicen que tome $\rho\in D_8$ a ser la reflexión en la $y$-eje y $T$ a ser la isometría cosas que se mueven a la derecha por $.25$ unidades. A continuación,$T\rho(0)= 0.25\neq \rho T(0)=.75$.

No debería ser demasiado difícil escribir una explícita isomorfismo de$Isom(\mathbb T^2)$$D_8\rtimes_\varphi \mathbb T^2$.

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jasonjwwilliams Puntos 950

Voy a trabajar algunas de las piezas y dejar de trabajar los detalles.

En primer lugar, el grupo de isometría contiene un canónica copia de $\mathbb{T}^2$ obtenido por la multiplicación de los elementos en $\mathbb{T}^2$ (recordando que $\mathbb{T}^2$ es una Mentira grupo). Esto ya es suficiente para ver que cada punto de $\mathbb{T}^2$ puede ser trasladado a cualquier otro por una isometría, es decir, $\mathbb{T}^2$ es homogénea.

Esto significa que realmente sólo necesitamos averiguar lo que las isometrías son los que fijan un punto.

El pensamiento de $\mathbb{T}^2$ como un cuadrado con lados identificado, estoy pensando en el punto a) como la parte inferior izquierda (=parte de arriba a la izquierda = arriba a la derecha = derecha abajo) de la esquina. Se centran en las líneas verticales y horizontales que emana de este punto. Puedo reclamar cada uno de ellos son geodesics (si está parametrizado correctamente) y que tienen la misma longitud, y que son más cortos que los de cualquier otro cerrado geodesics, comenzando en el punto elegimos.

Esto muestra que hay en la mayoría de los 8 isometrías que fijar este punto: La línea vertical puede ir a la línea horizontal o vertical atravesada de una manera o de la otra (4 opciones) y la línea horizontal, debe ir a la otra línea, pero todavía podemos elegir qué camino recorrer. Este es un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}^3$ generado por 3 elementos: Cambio de dirección vertical, cambiar de dirección horizontal, de intercambio vertical a una horizontal.

Se sigue de esto que el grupo de isometría es generado por $\mathbb{T}^2$ y estos otros 8 isometrías. Yo voy a dejar a usted para demostrar que $\mathbb{T}^2$ está en el centro de la isometría grupo (lo cual es fácil después de señalar que sólo estás comprobación de la conjugación de estos 8 extra isometrías, y que puede reducir esto a la comprobación de sólo 2 casos).

Esto debería ser suficiente para que usted anote toda isometría grupo.

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