Estaba leyendo la siguiente prueba. 
En eso entiendo la primera parte pero en la parte contraria no entiendo ¿Por qué si la igualdad se mantiene, entonces d(x,z) es escalar veces d(z,y)? Como se muestra en el resaltado amarillo.
No encuentro ningún razonamiento para eso.
Cualquier ayuda será apreciada
Dejemos que $u=x-z,v=z-y$ así que $\|u+v\|=\|u\|+\|v\|$ . Cuadrar ambos lados y ampliar $\|u+v\|^{2}$ como $\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle v,v\rangle+2\langle u,v\rangle$ vemos que $\langle u,v\rangle =\|u\|\|v\|$ . Ahora considere $\|u-tv\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2t\langle u,v\rangle=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2t\|u\|\|v\|$ donde $t$ es un número real. Siempre podemos elegir $t\geq 0$ para que el lado derecho sea $0$ y entonces obtenemos $u=tv$ . Así que $x-z=t(z-y)$ que da $z=\frac 1 {1+t} x +\frac t {1+t} y$ . Esto significa que $z$ se encuentra en el segmento de línea que une $x$ et $y$ .
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En realidad, no es el $d\left( x, z \right)$ que es igual a un escalar por $d \left( z, y \right)$ . Es el vector $x - z$ que es igual a un escalar por el vector $z - y$ .