Hace $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} + \frac{3}{n}$ ¿convergen o divergen?

Question

¿Esta serie converge o diverge? Si converge, determina su límite. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} + \frac{3}{n}$$

Hasta ahora he dicho que $\frac{1}{2^n}$ es una serie geométrica que converge, y $\frac{3}{n}$ diverge ya que es la serie armónica (creo), ¡pero no sé a dónde ir desde eso! (lo siento soy un principiante)

Answer 1

Pista: La serie diverge. Da un minorante divergente. Usted ya ha mencionado, que $\sum_{n=1}^\infty \frac3n$ es una serie armónica, que diverge.

Answer 2

Si $\sum a_n$ diverge, $\sum b_n$ converge, entonces $\sum (a_n \pm b_n)$ debe ser divergente, de lo contrario $a_n = (a_n \pm b_n) \mp b_n$ forma una serie convergente [la suma de dos series convergentes también es convergente].

Answer 3

Alternativamente, si la suma es finita y es igual a $L$ y, a continuación, reordenando, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n} = L - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \ldots.$$ Nótese que el lado izquierdo es divergente, pero el lado derecho (una serie geométrica con un término constante añadido) es convergente. Esto es una contradicción.