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Cortar un círculo para hacer un cuadrado

Nosotros conozca que no hay una solución de papel y tijeras para El problema de Tarski de la cuadratura del círculo (mi hija de seis años me dijo esto mientras almorzaba un día) pero ¿cuáles son las aproximaciones más cercanas, si no permitimos la superposición?

Más precisamente: Para N piezas que juntas caben dentro de un círculo de área de unidad y un cuadrado de área de unidad sin superponerse, ¿cuál es el área máxima que puede ser cubierta?

N=1 parece obvio: (90.9454%)



Un posible ganador para N=3: (95%)



Parece probable que con, digamos, N=10 podríamos acercarnos mucho, pero nunca he visto ningún ejemplo, y dudo que mi ejemplo N=3 de arriba sea siquiera el óptimo. ( Editar: No lo es!) Y no tengo ni idea de cómo sería la solución para N=2.

Esta página discute algunas formas curvas que puede ser cortado en cuadrados. Hay una bonita y simple prueba aquí que no hay solución de papel y tijeras para el círculo y el cuadrado.

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Es genial que tu hijo de 6 años se plantee problemas como éste.

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¡Tu hija es impresionante!

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Lo dijo así: "No se puede cortar un círculo para hacer un cuadrado". Tuve que buscarlo, pero tiene mucha razón.

33voto

hexten Puntos 301

No es realmente una respuesta, pero hay algunas disecciones fantásticas en esta página incluyendo estos dos:

Disección de un octógono en un cuadrado con cinco piezas:

enter image description here

Disección de un dodecágono en un cuadrado de seis piezas:

enter image description here

Parece probable que se puedan hacer aproximaciones bastante buenas de una disección en círculo cuadrado para N=5 y N=6.

Editar: En efecto, con N=6 podemos obtener una cobertura del 97,18% así:

Six pieces can cover 97.18% of a circle and a square of equal area
(un dodecágono inscrito tendría un área del 95,49%)

Edición posterior: Resulta que con N=6 podemos hacerlo mucho mejor. 98.80%:

Six pieces can cover 98.6% of a circle and a square of equal area

Estas soluciones fueron encontradas con una aplicación web que he hecho:
https://github.com/timhutton/circle-squaring

Por favor, inténtelo y envíe las mejores soluciones que encuentre. La tabla de clasificación de la derecha muestra las mejores soluciones conocidas actualmente para N=1 a N=10.

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(+1) enfoque interesante. ¿Alguna idea de cómo generalizar esto usando otros polígonos regulares?

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@achillehui: Este documento señala que el Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien dice que es posible, y da una construcción. Pero terminan con un gran número de piezas: 9 para un octógono y 15 para un dodecágono.

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Gracias por el enlace. Lo que más me interesa es el número de piezas que uno necesita para reordenar el $n$ -gon. Esto debería traducirse en un límite inferior de la relación de cobertura de $N$ -piezas en este problema.

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seanyboy Puntos 3170

Bueno, aquí hay una familia infinita específica de congruencias de tijera entre grandes porciones del círculo y grandes porciones del cuadrado. No hago ninguna afirmación de que estos son cerca de la óptima.

Comenzamos inscribiendo un regular $n$ -gon en el círculo. A continuación, cortamos el $n$ -gon en $2n$ triángulos, y reordenarlos como sigue:

enter image description here

El $2n$ los triángulos siempre caben en un rectángulo cuya anchura es la mitad de la circunferencia del círculo (es decir $\sqrt{\pi}$ ), y cuya altura es el radio del círculo (es decir $1/\sqrt{\pi}$ ). Este rectángulo se puede cortar en tres trozos que se pueden reorganizar para formar un cuadrado unitario:

enter image description here

Componiendo estas dos congruencias de tijera se obtiene la familia infinita deseada. Obsérvese que podemos necesitar cortar cada una de las $2n$ triángulos en tantos como $3$ piezas para componer con la segunda congruencia de tijera, por lo que esto utiliza como máximo $6n$ piezas. (En realidad, utiliza un poco menos de piezas que esto, ya que los triángulos de la parte izquierda del rectángulo no necesitarán ser cortados).

La parte de la superficie utilizada es la superficie del $n$ -gon: $$ \text{Area} \;=\; \frac{n}{\pi} \cos(\pi/n) \sin(\pi/n) \;\approx\; 1 - \frac{\pi^2}{2n^2} $$ Así, se puede hacer que la superficie sobrante disminuya cuadráticamente con el número de piezas.

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Esta es una buena técnica general para encontrar un límite inferior, pero no da una respuesta óptima. Por ejemplo, el n-gon debería cortarse en n triángulos, y luego uno de esos triángulos debería ser bisecado, permitiendo la construcción de su rectángulo con sólo n-1 piezas en lugar de 2n. Incluso así, no se acerca a la optimalidad.

4voto

Robert Frost Puntos 21

De acuerdo, no es mi mejor trabajo, pero aquí hay una sugerencia en 2 partes: enter image description here

2voto

Zachary Krueger Puntos 11

Creo que he encontrado el método óptimo para n=6 y n≥10.

Más arriba afirmas que un dodecágono inscrito da una cobertura del 95,49%, lo que demuestras que no es la mejor respuesta. Ibas por buen camino, pero un enfoque mejor es superponer el círculo con un dodecágono de igual área y luego diseccionarlo en sus clásicas 6 piezas. Éstas se pueden reordenar en un cuadrado de igual área con una cobertura de ~99,108%, lo cual, a menos que el programa informático vinculado redondee incorrectamente, es mejor que la mejor respuesta lograda por ese programa hasta ahora. Las imágenes y la discusión de las mejores respuestas para otros números de piezas se pueden encontrar aquí: http://imgur.com/gallery/xHLAL .

Lo que he encontrado sugiere que posiblemente lo mejor que se puede conseguir con n=10 es el 99,347%, que como has predicho, está muy cerca.

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