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Cuando la curvatura es máxima de$x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}$

PREGUNTA


Encontrar Donde La Curvatura tiene un extremo ? $$x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}$$ MI ENFOQUE


$$x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}. . . . . (1)$$

$$\Rightarrow y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}-x^\frac{1}{2}$$ ahora differntiating ambos lados vamos a conseguir: $$\frac{1}{2}{y^\frac{-1}{2}}\frac{dy}{dx}=(-1)\frac{1}{2}x^\frac{-1}{2}$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-(\frac{y}{x})^\frac{1}{2}. . . . . .(2)$$ Ahora la diferenciación de nuevo con respecto a x de nuevo: $$\frac{d^2y}{dx^2}=-\bigg(\frac{1}{2}(\frac{y}{x})^\frac{-1}{2}.\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})\bigg)$$ $$=-\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})y-\frac{dy}{dx}(\frac{1}{x})\bigg)\Bigg)$$ $$=-\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{-y}{x^2}-\frac{dy}{dx}(\frac{1}{x})\bigg)\Bigg)$$ ahora poner el valor de $\frac{dy}{dx}$ : $$=\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{y}{x^2}-(\frac{y}{x})^\frac{1}{2}\frac{1}{x}\bigg)\Bigg)$$ Después de la simplificación que tengo :

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{2x}\bigg(\frac{y^\frac{1}{2}}{x^2}-1\bigg). . . . .(3)$$ pero a partir de la simplificación de la ecuación (2) en términos de $a$ wil resultado : $$\frac{dy}{dx}=1-(\frac{a}{x})^\frac{1}{2}$$ aquí puede fácilmente simlify esto para obtener $\frac{d^2y}{dx^2}$ es decir $$\Rightarrow\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sqrt a}{2x\sqrt x}. . . . .(4)$$ No sé por qué soy incapaz de reducir (3) a (4).Puede ser que existe algún error de cálculo,incluso eso no es mi pregunta. procedimiento para encontrar el radio de curvatura y la curvatura :

A PARTIR DE LA FÓRMULA $$\rho=\frac{\bigg(1+(\frac{dy}{dx})^2\bigg)^\frac{3}{2}}{\frac{d^2y}{dx^2}}$$ poner el valor de (2) y (4): $$\Rightarrow \rho=\frac{\bigg(1+\frac{y}{x}\bigg)^\frac{3}{2}2x\sqrt x}{\sqrt a}$$ $$\Rightarrow\rho=\frac{2(x+y)^\frac{3}{2}}{\sqrt a}$$ de modo que la curvatura es $$\frac{1}{\rho}=\kappa=\frac{\sqrt a}{2(2x+a-2\sqrt a\sqrt x)^3/2}$$ [aviso que he puesto y en términos de un nad x]

AHORA EMPIEZA EL PROBLEMA


para ser extremo $\frac{d\kappa}{dx} =0 $ y tengo que comprobar el signo de $\frac{d^2\kappa}{dx^2}$ : putting the value of $\kappa$ como se puede ver en la imagen : $$\frac{d\kappa}{dx}=\frac{3\sqrt a(2-\frac{\sqrt a}{\sqrt x})}{4(2x-2\sqrt x\sqrt a+a)^\frac{3}{2}}$$ Ahora dejando a cero tenemos : $$2=\frac{\sqrt a}{\sqrt x}$$ así que estoy recibiendo $x=\frac{a}{4}$ como un punto crítico. PERO la respuesta es dada como $\frac{\sqrt 2}{a}$ incluso se puede ver por la inspección de $x=\frac{a}{4}$ no es un punto crítico. see the graph por favor, ayudar y quiero saber donde tengo equivocó. ESTE ES MI HUMILDE PETICIÓN.

3voto

Sobi Puntos 86

Tal vez no una respuesta completa, pero a continuación encontrará mi solución al problema, lo que conduce a la misma respuesta como la tuya, así que son a la vez mal o la hoja de respuestas está mal.

Parametrizar la curva como $$ x(t) = a\cos^4 t, \quad y(t) = a\sin^4 t. $$ Entonces \begin{align} \dot x(t) &= -4a\cos^3 t \sin t,\\ \ddot x(t) &= -4a(-3\cos^2t\sin^2t + \cos^4 t)\\ &= -4a\cos^2 t(\cos^2t -3\sin^2 t), \end{align} y \begin{align} \dot y(t) &= 4a\sin^3 t \cos t,\\ \ddot y(t) &= 4a(3\sin^2t\cos^2t - \sin^4 t)\\ &= 4a\sin^2 t(3\cos^2t -\sin^2 t). \end{align} Entonces \begin{align} \dot x \ddot y - \ddot x \dot y &= -16a^2\cos^3 t \sin^3 t (3\cos^2t -\sin^2 t) + 16a^2\sin^3 t \cos^3 t(\cos^2t -3\sin^2 t)\\ &= 16a^2\cos^3 t \sin^3 t (-4\cos^2 t - 4\sin^2t) = -64 a^2 \cos^3 t \sin^3 t, \end{align} y \begin{align} (\dot x^2 + \dot y^2 )^{3/2} &= (16a^2\cos^6t\sin^2t+16a^2\sin^6t\cos^2t)^{3/2}\\ &= 64a^3\cos^3t\sin^3t (\cos^4t+\sin^4t)^{3/2}. \end{align} Esto le da $$ \kappa(t) = \frac{\dot x \ddot y - \ddot x \dot y}{(\dot x^2 + \dot y^2 )^{3/2}} = - \frac{1}{a(\cos^4t+\sin^4t)^{3/2}}.$$ Ahora \begin{align} \dot\kappa(t) &= \frac{3}{2a}\frac{-4\cos^3t\sin t + 4\sin^3 t\cos t}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= \frac{3}{2a}\frac{4\cos t\sin t(\sin^2t- \cos^2 t}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= \frac{3}{2a}\frac{-2\sin(2t)\cos(2t)}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= -\frac{3\sin(4t)}{2a(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}. \end{align} Por lo $\dot \kappa = 0$ siempre $\sin(4t) = 0,$ lo que sucede por $$ 4t = \pi n \Leftrightarrow t = \frac{\pi}{4}n, \quad n\in \mathbb{Z}. $$ Ya que (supongo que) $x,y > 0$, lo que estamos considerando es $t \in (0, \pi/2)$, por lo que la única opción válida es $t = \pi/4$, y, a continuación, $$ x\left(\frac{\pi}{4}\right) = a\cos^4\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{a}{\sqrt{2}^4} = \frac{a}{4}, $$ lo que confirma su respuesta.

Además, el gráfico parece indicar que la curvatura tiene un extremo en este punto. Tenga en cuenta que no estamos buscando a un extremo de la curva, sino el extremo de su curvatura.

2voto

mengdie1982 Puntos 49

la ecuación$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$$ is equivalent to $$y=x-2\sqrt{ax}+a,~~~0\leq x \leq a.$ $

Por lo tanto,$$y'=1-\frac{a}{\sqrt{ax}},~~~y''=\frac{a}{2x\sqrt{ax}}.$ $

Por lo tanto,$$k=\frac{|y'|}{(1+y''^2)^{3/2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{(2x-2\sqrt{ax}+a)^3}}.$ $

Observe que$$2x-2\sqrt{ax}+a=2\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2+\frac{a}{2}\geq \frac{a}{2}$$ with the equality holding if and only if $ \ sqrt {x} = \ dfrac {\ sqrt {a}} {2}$, namely $ x = \ dfrac {a} {4}$. As a result, $ k$ takes its maximum value $ k = \ dfrac {\ sqrt {2}} {a}$ at $ x = \ dfrac {a} {4}. $

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