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Mayor regularidad interior

A partir de la PDE por Evans, 2ª edición, páginas 332 a 333. Mi pregunta y el trabajo que se muestra en la parte inferior de este post.

TEOREMA 2 (Superior, interior de la regularidad). Deje $m$ ser un entero no negativo, y asumir $$a^{ij},b^i, c \in C^{m+1}(U) \quad (i,j = 1,\ldots,n) \tag{25}$$ and $$f \in H^m(U). \tag{26}$$ Suppose $u \H^1(U)$ is a weak solution of the elliptic PDE $$Lu=f \quad \text{in }U.$$

$\qquad$$$u \in H_{\text{loc}}^{m+2} (U); \tag{27}$$ and for each $V \subconjunto \subconjunto de U$ we have the estimate $$\|u\|_{H^{m+2}(V)} \le C(\|f\|_{H^m(U)}+\|u\|_{L^2(U)}),$$ the constant $C$ depending only on $m,U,V$ and the coefficients of $L$.

Prueba. 1. Estableceremos $\text{(27), (28)}$ por inducción en $m$, en el caso de $m=0$ siendo el Teorema 1 anterior.

$\qquad$2. Supongamos ahora afirmaciones $\text{(27)}$ $\text{(28)}$ son válidos para algún número entero no negativo $m$ y todos los conjuntos de $U$, los coeficientes de $a^{ij}, b^i, c$, etc., como se indicó anteriormente. Supongamos entonces $$a^{ij},b^i,c \in C^{m+2}(U), \tag{29}$$ and $$f \in H^{m+1}(U) \tag{30},$$ and $u \H^1(U)$ is a weak solution of $Lu=f$ in $U$. By the induction hypothesis, we have $$u \in H_\text{loc}^{m+2}(U) \tag{31},$$ with the estimate $$\| u \|_{H^{m+2}(W)} \le C(\|f\|_{H^m(U)}+\|u\|_{L^2(U)}), \tag{32}$$ for each $W \subconjunto \subconjunto U$ and an appropriate constant $C$, dpending only on $W$, the coefficients of $L$, etc. Fix $V \subconjunto \subconjunto W \subconjunto \subconjunto de U$.

$\qquad$3. Ahora vamos a $\alpha$ ser cualquier multiindex con $$|\alpha|=m+1, \tag{33}$$ and choose any test function $\tilde{v} \en C_c^\infty (W)$. Insert $$v :=(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}$$ into the identity $B[u,v] =(f,v)_{L^2(U)}$, and perform some integrations by parts, eventually to discover $$B[\tilde{u},\tilde{v}]=(\tilde{f},\tilde{v}) \tag{34}$$ for $$\tilde{u} := D^{\alpha}u \in H^1(W) \tag{35}$$ and $$\tilde{f} := D^\alpha f-\sum_{\substack{\beta \le \alpha \\ \beta \not= \alpha}} {\alpha \choose \beta} \left[-\sum_{i,j=1}^n (D^{\alpha - \beta} a^{ij} D^\beta u_{x_i})_{x_j} + \sum_{i=1}^n D^{\alpha - \beta} b^i D^\beta u_{x_i} + D^{\alpha - \beta} c D^\beta u \right]. \tag{36}$$

Yo:

La definición de $B[u,v]$, de acuerdo a la definición en la página 314, $$B[u,v] := \int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} v_{x_j} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} v + cuv \, dx$$ and the definition of the inner product $(f,v)$ is given by the textbook as $$f(u,v) = \int_U fv \, dx$$ for $u,v \en H_0^1(U)$ and $f \en L^2(U)$.

De modo que la identidad de $B[u,v]=(f,v)_{L^2(U)}$ puede ser expresado como $$\int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} v_{x_j} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} v + cuv \, dx = \int_U fv \, dx.$$

Según el libro de texto de las instrucciones, he insertado la identidad de $v :=(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}$ en la identidad y obtuve esto: $$\int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} (-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v_{x_j}} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] + cu [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] \, dx = \int_U f [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] \, dx.$$ Estoy tratando de obtener el resultado de $$B[\tilde{u},\tilde{v}]=(\tilde{f},\tilde{v}) \tag{34}$$ Estoy haciendo este derecho tan lejos? Es esta donde yo estoy listo para realizar algunas integraciones por partes?

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Irddo Puntos 957
<p>Para mostrar que, usted debe comenzar con $B[u,v]=(f,v)$, donde $v=(-1)^{|\alpha |} D^\alpha \overline{v}.$ por lo tanto, necesita cambiar cada derivada parcial de $v$ $u$, por integración por partes.</p> <p>Usted necesitará algunos teoremas en notación multiindex, como fórmula de Leibniz, durante de la integración por partes y después se habían que $B[\overline{u},\overline{v}]=(\overline{f},\overline{v}).$</p> <p>(Estoy estudiando PDE y acabado cálculo ahora!)</p>

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