Forma más sencilla de encontrar el radio del círculo inscrito en un triángulo escaleno dado 2 lados y el ángulo incluido

Question

Tengo un triángulo escaleno con dos lados dados y el ángulo incluido. Estoy resolviendo el radio del círculo inscrito. Ver la imagen abajo.

Sé que puedo usar la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado faltante $c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

Luego podría usar la fórmula del área de un triángulo $K=\frac12absin C$

Finalmente podría encontrar e insertar el perímetro y el área en la fórmula a continuación para resolver r. $r=\frac{2A}p$

Mi ecuación para r sería: $r=\frac{ab \sin{C}}{a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab \cos{C}}}$

Usando los datos dados esto me daría: $r=\frac{119*202*sin(43)}{119+202+\sqrt{119^2+202^2-2*119*202*cos(43)}}=35.5$

¿Hay una manera más simple de hacer esto?

Answer 1

Usando la regla del coseno como mencionas, el tercer lado es $140.73$.

entonces, dado que los lados son tangentes al incírculo, podemos escribir: $$ 119 = x + y \\ 202 = x+z \\ 140.73 = y+z $$ estas ecuaciones nos dan $x=90.136$

entonces $$ \begin{align} r &= x \tan 21.5^{\circ}\\ & = 35.5 \end{align} $$ (disculpas si mis cálculos están mal, pero creo que el método sugerido funcionará)

Answer 2

Dado que el centro del incírculo se encuentra en los bisectores de los ángulos, puedes descomponer el triángulo en tres pares de triángulos rectángulos, trazando esos bisectores y cada radio a los $3$ puntos tangentes.

Estos pequeños triángulos tienen cada uno una altura igual al radio del incírculo y una base total (a lo largo de los seis pequeños triángulos) igual al perímetro, dando la fórmula para el radio del incírculo: $$r_{\small I} = \frac{A_T}{s} $$ donde $A_T$ es el área del triángulo y $s$ es el semiperímetro (mitad del perímetro).

Así que aún necesitas el tercer lado como calculaste, para derivar el (semi)perímetro, y luego puedes obtener el área a partir de la fórmula de Herón, $$A_T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

o, combinando estos dos,

$$r_{\small I} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$

En tu caso $s = (119+202+140.73)/2 = 230.87$ así que $r_{\small I} = \sqrt{\frac{(111.87)(28.87)(90.14)}{230.87}} = \sqrt{1261} = 35.51$.