13 votos

Familias de polinomios irreductibles en $\mathbb{Z}$ pero reducible en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para todos los primos $p$ .

Me pregunto si existe una clasificación de polinomios que sean irreducibles en $ \mathbb{Z}$ pero reducible $\pmod p$ para todos los primos $p$ .

Soy consciente de que $\Phi_n$ tiene esta propiedad si $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ no es cíclico. ¿Hay otras familias bonitas?

De hecho, incluso después de investigar un poco, no he sido capaz de encontrar ningún otro polinomio que no entre en la familia mencionada anteriormente. Cualquier ejemplo individual que no sea de la forma anterior también es bienvenido.

De hecho, he encontrado este documento que puede ser de interés: http://www.m-hikari.com/imf-password2008/33-36-2008/pearsonIMF33-36-2008.pdf

4voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Como se explica en esta respuesta de math.SE y que se indica en los comentarios de mercio, para un polinomio irreducible de grado $n$ esta condición equivale a que el grupo de Galois no contenga un $n$ -ciclo. Hay muchos subgrupos transitivos de $S_n$ al no contener un $n$ -y por lo tanto (hasta la resolución del problema inverso de Galois, también como se indica en los comentarios de mercio) muchos polinomios de este tipo, aunque no existen tales subgrupos cuando $n$ es primo (ejercicio) y la "mayoría" de los polinomios, como resulta, tienen grupo de Galois $S_n$ .

En particular, en la respuesta vinculada de math.SE doy una familia de polinomios irreducibles de grado $4$ con el grupo de Galois $V_4$ , es decir, los polinomios

$$f_a(x) = x^2 - 2ax + 1$$

donde $a$ es un número entero no igual a $1$ o $\frac{b^2 \pm 2}{2}$ para cualquier número entero $b$ . Creo que los ejemplos de esta forma fueron escritos originalmente por Hilbert. Los otros cuatro grupos de Galois posibles, a saber $S_4, A_4, D_4, C_4$ todos contienen un $4$ -ciclo, por lo que $V_4$ es el único grupo de Galois aceptable para un cuártico.

Un método para generar muchos ejemplos, aunque requiere un poco de trabajo para hacerlo totalmente explícito, es el siguiente. Sea $G$ ser no cíclico. Construir una extensión de Galois $K/\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $G$ y, a continuación, deja que $f$ sea el polinomio mínimo de un elemento primitivo de $K$ . Los polinomios ciclotómicos se producen así cuando $G = \mathbb{Z}_n^{\times}$ no es cíclico, pero $G$ puede ser, por ejemplo, cualquier grupo no abeliano. Esta construcción, en particular, muestra que existen ejemplos con grados arbitrariamente grandes distintos de los polinomios ciclotómicos (hasta la resolución del problema inverso de Galois, cualquier grado $n$ tal que existe un grupo no cíclico de orden $n$ ; lo es conocido que estos son precisamente los números $n$ tal que $\gcd(n, \varphi(n)) \neq 1$ ).

No debería ser difícil ser explícito sobre esto para para $G = S_3$ (como subgrupo transitivo de $S_6$ ); puede tomar $K$ para ser el campo de división de cualquier polinomio cúbico irreducible mónico cuyo discriminante no es un cuadrado.

Para tener una secuencia explícita de ejemplos de grados arbitrariamente grandes distintos de los polinomios ciclotómicos, tomemos los polinomios mínimos de los enteros algebraicos

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \dots + \sqrt{p_k}$$ donde $p_k$ es el $k^{th}$ primo. Son elementos primos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \dots \sqrt{p_k})$ que tiene el grupo de Galois $C_2^k$ que no es cíclico en cuanto $k \ge 2$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X