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¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una antiderivada?

Pensaba que eran palabras diferentes para la misma cosa, pero parece que estoy equivocado. Ayuda.

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No es una respuesta directa a tu pregunta, pero ten en cuenta que hay ejemplos de funciones que son integrables pero que no tienen antiderivada, y ejemplos de funciones que tienen antiderivada pero no son integrables. Usar "integral indefinida" para significar "antiderivada" (lo cual es desgraciadamente común) oscurece el hecho de que la integración y la antiderivada son realmente cosas diferentes en general.

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Wolfram Mathworld dice que una integral indefinida es "también llamada antiderivada". Este Página del MIT dice: "El nombre más común para la antiderivada es la integral indefinida". Uno es libre de definir los términos como quiera, pero parece que al menos algunas fuentes creíbles (y posiblemente la mayoría) los definen como exactamente la misma cosa.

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Hagen von Eitzen Puntos 171160

Una antiderivada de una función $f$ es una función $F$ tal que $F'=f$ .

La integral indefinida $\int f(x)\,\mathrm dx$ de $f$ (es decir, una función $F$ tal que $\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)$ para todos $a<b$ ) es una antiderivada si $f$ es continua, pero no es necesario que sea una antiderivada en el caso general.

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¿En qué libros se encuentra la definición de la integral indefinida?

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Drealmer Puntos 2284

"Integral indefinida" y "antiderivada(s)" son la misma cosa, y son lo mismo que "primitiva(s)".

(Las integrales con uno o más límites "infinitos" son "impropias").

Añadido: y, por supuesto, el uso varía. Es decir, es posible encontrar ejemplos de usos incompatibles. Y, muy en serio, $F(b)=\int_a^b f(t)\,dt$ es diferente de $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ¿de qué manera fundamental? Y de $\int_0^x f(t)\,dt$ ? Y de la misma expresión cuando $f$ puede no ser tan agradable como quisiéramos?

No tengo ninguna objeción si la gente quiere nombrar estas cosas de manera diferente, y/o insistir en que son algo diferentes, pero no las veo como fundamentalmente diferentes.

Así que, el punto real es sólo ser consciente del uso en cualquier fuente...

(No, no me gustaría estar en una situación de clase en la que las calificaciones dependieran delicadamente de esas supuestas distinciones).

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Www.ma.utexas.edu/users/sadun/F11/408N/FTC.pdf Sin embargo, esto los define de manera diferente. ¿Es incorrecto?

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Bueno, esto no es una cuestión de "verdad" sino de uso matemático. Me sorprende ver que una integral con límite superior "variable" se llame "indefinida". (Por no hablar de la cuestión seria, pero potencialmente absurda, de "qué es una variable, por oposición a una constante"). O, por lo que sé, el uso puede haber derivado a lo largo de los años... Siempre hay que prestar atención a contexto que puede implicar usos diferentes a los esperados. Siempre que sea sincero y no sea engañoso, es casi inofensivo, aunque sea molesto.

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@paulgarrett : mucha gente llama "la primitiva" de una función a la antiderivada que tiene el valor $0$ en $0$ . Pensé que esto era universal, pero lo busqué en Google y encontré varias personas que lo usaban para cualquier antiderivada.

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J. LaRosee Puntos 546

Una antiderivada de una función $f$ es un función $F$ cuya derivada es $f$ . La integral indefinida de $f$ es el conjunto de todo antiderivados de $f$ . Si $f$ y $F$ son como se acaba de describir, la integral indefinida de $f$ tiene la forma $\{F+c \mid c\in \mathbb{R}\}$ . Por lo general, la gente no se queda con la notación del constructor de conjuntos, y escribe cosas como " $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C$ ".

Esto es lo que me enseñaron. Una de las otras respuestas aquí es completamente diferente. He buscado en Google y, para mi sorpresa, la Wikipedia define una integral impropia como una función única. Encontré un enlace en http://people.hofstra.edu/stefan_waner/realworld/tutorials4/frames6_1.html que coincide con mi respuesta. No sé si hay consenso en la comunidad matemática sobre cuál es la respuesta correcta.

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Ahaan S. Rungta Puntos 6129

La respuesta que siempre he visto: Una integral suele tener un límite definido mientras que una antiderivada suele ser un caso general y casi siempre tendrá un $\mathcal{+C}$ , la constante de integración, al final de la misma. Esta es la única diferencia entre los dos, aparte de que son completamente iguales.

Sin embargo, estará seguro en clase si asume que son idénticos si ninguno de ellos tiene un límite definido.

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Yaroslav Puntos 141

(J. Stewart. Calculus pp 391) Creo que Stewart define una antiderivada como una integral indefinida.

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No. Esto sólo es cierto si $f$ es continua. Stewart está asumiendo $f$ es continua, como puedes ver en el párrafo anterior al que has citado.

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