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Contraejemplo $X_n \to X$ en distribución pero $\lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]\neq E[ \log(1+X) ]$

Deje $X_n \to X$ en la distribución, donde sólo se consideran no-negativo variables aleatorias.

Estoy buscando un contraejemplo que para el siguiente límite \begin{align} \lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]= E[ \log(1+X) ]. \end{align}

Aquí es un contraejemplo que he creado. Deje $X_n$ tiene una función de masa de probabilidad de acuerdo a$P[ X_n=0]=(1-\frac{1}{n})$$P[ X_n= 2^n]=\frac{1}{n}$. Entonces \begin{align} \lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log(1+2^n) = \log(2). \end{align} Por otro lado, tenemos que $X_n \to X= 0$ en la distribución, de manera \begin{align} E[ \log(1+X) ]= \log(1)=0. \end{align}

Mi pregunta: ¿Podemos crear un contraejemplo tal que $\sup_{n} E[X_n]<\infty$$E[X]<\infty$? También, hay un ejemplo?

Tenga en cuenta que en mi contraejemplo, tenemos que \begin{align} \sup_{n} E[X_n]= \sup_{n} \frac{1}{n} 2^n=\infty. \end{align}

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user36150 Puntos 8

No, No es ningún contraejemplo. Si suponemos además que $\sup_n \mathbb{E}(X_n)<\infty$$\mathbb{E}(X)< \infty$, luego

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\log(1+X_n) = \mathbb{E}\log(1+X).$$

Prueba: Elija $\chi_k \in C_b$ tal que $0 \leq \chi_k \leq 1$, $\chi_k|_{B(0,k)}=1$ y $\chi_k|_{B(0,k+1)}=0$. Claramente,

$$|\mathbb{E}(\log(1+X_n))-\mathbb{E}(\log(1+X))| \leq I_1+I_2+I_3$$

donde

$$\begin{align*} I_1 &:= \sup_{n \geq 1} |\mathbb{E}(\log(1+X_n)-\log(1+X_n) \chi_k(X_n))| \\ I_2 &:= |\mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)-\log(1+X) \chi_k(X))| \\ I_3 &:= |\mathbb{E}(\log(1+X)-\log(1+X) \chi_k(X))| \end{align*}$$

La convergencia en distribución implica que

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)) = \mathbb{E}(\log(1+X) \chi_k(X))$$

para cualquier $k \in \mathbb{N}$, y por lo $I_2 \to 0$$n \to \infty$. Por otro lado, tenemos

$$\begin{align*} |\mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)) - \mathbb{E}\log(1+X_n)| &\leq \mathbb{E}(\log(1+X_n) 1_{|X_n|>k}) \\ &\leq c_k \mathbb{E}(X_n) \end{align*}$$

para algunos $c_k>0$ tal que $c_k \to 0$$k \to \infty$. (Usar ese $x \mapsto x$ está creciendo mucho más rápido que $x \mapsto \log(1+x)$ grandes $x$.) La misma estimación sostiene con $X_n$ reemplazado por $X$. La combinación de las estimaciones que tenemos

$$\limsup_{n \to \infty} |\mathbb{E}(\log(1+X_n))-\mathbb{E}(\log(1+X))| \leq c_k \sup_{m \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(X_m) + c_k \mathbb{E}(X).$$

Desde el lado de la derecha converge a $0$ $k \to \infty$ llegamos a la conclusión de que

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\log(1+X_n) = \mathbb{E}\log(1+X).$$

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