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¿Por qué la constante de tiempo es el 63,2% y no el 50% o el 70%?

Estoy estudiando sobre circuitos RC y RL. ¿Por qué la constante de tiempo es igual al 63,2% de la tensión de salida? ¿Por qué se define como el 63% y no otro valor?

¿Un circuito empieza a funcionar al 63% de la tensión de salida? ¿Por qué no al 50%?

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1-e^-1 = 0.6321...

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Coincide con 1/ancho de banda y es el valor del tiempo en el retardo de primer orden \$\frac{1}{1+j\omega\tau}\$ o \$\frac{1}{1+\tau s}\$ . En la desintegración radiactiva utilizan el 50% ("vida media").

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@AndrewMorton: No estoy del todo seguro de lo que dice de mí que haya adivinado que esa sería la respuesta solo por el título.

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Alex Andronov Puntos 178

Otras respuestas aún no han dado con lo que hace e especial: definir la constante de tiempo como el tiempo necesario para que algo disminuya en un factor de e significa que en cualquier momento del tiempo, la tasa de cambio será tal que si esa tasa se mantuviera --el tiempo requerido para decaer a la nada sería una constante de tiempo.

Por ejemplo, si uno tiene una tapa de 1uF y una resistencia de 1M, la constante de tiempo será de un segundo. Si el condensador se carga a 10 voltios, la tensión caerá a un ritmo de 10 voltios/segundo. Si se carga a 5 voltios, el voltaje caerá a un ritmo de 5 voltios/segundo. El hecho de que la tasa de cambio disminuya a medida que lo hace el voltaje significa que el voltaje no decaerá realmente hasta desaparecer en un segundo, sino que la tasa de disminución en cualquier momento será el voltaje actual dividido por la constante de tiempo.

Si la constante de tiempo se definiera como cualquier otra unidad (por ejemplo, la vida media), entonces la tasa de desintegración ya no se correspondería tan bien con la constante de tiempo.

plot of example showing time contants

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Esta puede ser la mejor respuesta, ya que responde a la pregunta de " ¿Por qué? " de forma tangible, en lugar de mostrar " cómo " para calcularlo.

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¡Impresionante, no puedo creer que nunca haya aprendido esto! (BTW, un gráfico haría esta respuesta aún más impresionante).

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Es una excelente intuición. +1

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GSerg Puntos 33571

Está integrado en las matemáticas del decaimiento exponencial asociado a los sistemas de primer orden. Si la respuesta comienza en la unidad en t=0, después de una "unidad de tiempo", la respuesta es \$e^{-1} = 0.36788\$ . Cuando se busca un tiempo de subida, se resta esto de la unidad, dando 0,63212 o 63,2%.

La "unidad de tiempo" se denomina "constante de tiempo" del sistema y se suele denotar τ (tau). La expresión completa de la respuesta del sistema en el tiempo (t) es

$$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Así que la constante de tiempo es una cantidad útil de conocer. Si se quiere medir la constante de tiempo directamente, se mide el tiempo que tarda en llegar al 63,2% de su valor final.

En electrónica, la constante de tiempo (en segundos) es igual a R×C en un circuito R-C o L/R en un circuito R-L, cuando se utilizan ohmios, faradios y henrios como unidades para los valores de los componentes. Esto significa que si se conoce la constante de tiempo, se puede derivar uno de los valores de los componentes si se conoce el otro.

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Para un decaimiento o aumento exponencial debemos utilizar la respuesta escalonada para reducir la complejidad. Para que se tenga en cuenta e1. ¿Estoy en lo cierto?

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@BalaSubramanian: sí, claro.

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Pero tengo una duda, por ejemplo en el diseño de un circuito RC para un temporizador o contador. El periodo de tiempo es el mismo que la constante de tiempo. ¿El CI o dispositivo requerido deja de funcionar al 63% del voltaje?

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Spehro Pefhany Puntos 90994

El decaimiento de un circuito paralelo RC con condensador cargado a Vo

v(t) = \$Vo(1-e^{-t/\tau})\$ , donde \$\tau\$ es la constante de tiempo R \$\cdot\$ C.

Así que v( \$\tau\$ )/Vo es aproximadamente 0,63212055882855767840447622983854

En otras palabras, el constante de tiempo se define por el producto RC (o relación L/R), y la tensión aparentemente arbitraria es el resultado de esa definición y de la forma en que se produce el decaimiento exponencial o la carga.


El decaimiento exponencial es común a varios procesos físicos, como el decaimiento radiactivo, algunos tipos de enfriamiento, etc., y puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden.


Supongamos que quiere saber el tiempo cuando la tensión es el 0,5 de la tensión inicial (o la tensión final si se carga desde 0). Es (a partir de lo anterior)

t = - \$\ln(0.5)\tau\$ o aproximadamente 0,693RC

De cualquier manera que lo hagas, aparecen algunos números irracionales y tratar con RC= \$\tau\$ es la forma "natural".

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Se trata de una aproximación muy grande.

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@Arsenal Podría usar MATLAB y llevarlo a unos cuantos miles de decimales si quieres.

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@Arsenal, supongo que 22/7 tampoco es suficiente para ti :D

4voto

Lorenzo Donati Puntos 6644

He estado pensando si una descripción clásica de la aberración en un telescopio lleno de agua podría ser la siguiente (¡me interesa escuchar opiniones de otros!)

Según el explicación clásica para la aberración normal sin agua: $$ \cot{\theta'} = \frac{\cos{\theta} + \frac{v}{c}}{\sin{\theta}} $$ con $\theta' - \theta$ el ángulo de aberración.

Para ángulos pequeños se puede escribir como $$\theta' - \theta = \frac{v}{c} \sin{\theta}. \quad (\star)$$

$\theta = 90$ es una estrella en el cenit. Supongamos que dicha estrella está en el cenit y que el ángulo de aberración medido es $\frac{v}{c}.$

Ahora el telescopio está lleno de agua y como el telescopio está ligeramente inclinado pero la estrella sigue estando en el cenit, se produce la refracción según el punto de partida para utilizar sólo los argumentos clásicos.

El ángulo de refracción será $\frac{v}{nc}$ con índice de refracción $n>1$ . El "rayo de luz" o partícula que antes (sin el agua) se desplazaba verticalmente por el tubo del telescopio, ahora parece venir de la dirección $\theta = 90 -(\frac{v}{c} - \frac{v}{nc})$ .

Según $(\star)$ el ángulo de aberración esperado para el que hay que ajustar el telescopio, se convierte en $ \theta' - \theta = \frac{v}{c} \cos{(\frac{v}{c} - \frac{v}{nc})}$ .

Porque para ángulos tan pequeños $\cos{\alpha} = 1 - \frac{1}{2}\alpha^2$ este es un efecto de segundo orden y el ángulo de aberración esperado en el primer orden no cambia debido a la refracción.

Así que como la velocidad de la luz en el agua es menor $c_{\text{water}} = \frac{c}{n}$ el ángulo de aberración debe ser mayor. La reacción no puede cambiar este hecho (es decir, cuando el razonamiento anterior tiene sentido).

El experimento de Airy demostró que el ángulo de aberración no cambia, lo que demuestra que todos estos argumentos clásicos son equivocada . Y sólo la relatividad especial es capaz de explicar la aberración estelar.

La idea de que un rayo de luz atraviesa verticalmente el tubo ligeramente inclinado del telescopio es equivocada El experimento de Airy refuta completamente esa idea.
Más explícitamente: el efecto de aberración no tiene nada que ver con el telescopio, el medio, ni siquiera con la velocidad relativa de la estrella y el observador.
Es un efecto de la relatividad entre dos observadores diferentes (puede ser el mismo observador en un momento diferente). La invalidez de todos los argumentos clásicos me parece algo chocante.

Nota al margen: Pauli comenta sobre el experimento de Airy, que sólo muestra el hecho trivial de que en ambos casos (con o sin agua) hay incidencia normal.

1voto

Jeet Puntos 106

Esto viene de la \$e\$ valor constante \$1-e^{-1} \approx 0.63\$ .

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