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Si la fuerza es un vector, ¿por qué la presión es un escalar?

Por definición, la presión es la fuerza perpendicular aplicada a una unidad de área. Por lo tanto, tiene una dirección que es perpendicular al área. Por lo tanto, debe ser un vector. Pero busqué en Google y descubrí que es una cantidad escalar. Así que sería muy útil si alguien pudiera mostrarme cómo la presión es escalar con alguna derivación matemática.

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Y también todos los vinculados a ella

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orion Puntos 1444

La presión es el factor de proporcionalidad. El área es la que te da la dirección. Hay que recordar que la presión está definida en todo el volumen, no sólo en la superficie. Un volumen de gas tiene la presión definida en todas partes. Y la dirección de la fuerza la determinas tú, por la forma en que orientas la superficie que pones en el gas.

$$\vec{F}=p\vec{A}$$ Aquí se ve que el área es el vector.

Citando a wikipedia :

Es incorrecto (aunque bastante habitual) decir "la presión está dirigida en tal o cual dirección". La presión, como escalar, no tiene dirección. La fuerza dada por la relación anterior a la tiene una dirección, pero la presión no. Si cambiamos la orientación del elemento de la superficie, la dirección de la fuerza normal cambia en consecuencia, pero la presión sigue siendo la misma.

Debo aclarar que este calcula la fuerza causado por la presión, por lo que te da la fuerza perpendicular al área, dado el vector área. Es la definir ecuación y la única que capta lo que realmente hace la presión, por lo que siempre es cierta, pero debe entenderse como una fórmula para calcular la fuerza a partir de la presión.

Si $\vec{F}$ es sólo causada por la presión, es no puede ser cualquier otra cosa que no sea perpendicular a la zona, de lo contrario tienes otras fuerzas presentes en el sistema, o el líquido no es isotrópico. Dicho esto, suponiendo que $\vec{F}$ sólo es causada por la presión, se podría calcular $p$ tomando valores absolutos:

$$p=\frac{|F|}{|A|}$$

Matemáticamente, has transformado una ecuación vectorial en una ecuación escalar suponiendo que vectores paralelos, por lo que ahora no se permite poner nada, sino sólo longitudes (o proyecciones - argumento similar) de F y A que se garantice que han sido paralelas, de lo contrario se obtiene un sinsentido. También pierdes el signo de la presión (para los gases, no puede ocurrir, pero para los sólidos o líquidos elásticos, puede "tirar" debido a las fuerzas intermoleculares).

Sin embargo, estrictamente hablando, la presión es un tensor pero para los gases, es isotrópico, por lo que actúa como un escalar. Sin entrar en detalles de lo que es un tensor, imaginemos arriba que en $p\vec{A}$ , $p$ también puede transformar la dirección, no sólo la magnitud de $\vec{A}$ por lo que la fuerza no tiene que apuntar perpendicularmente. Esto es cierto en los sólidos elásticos, donde se puede transmitir de lado fuerzas a la superficie, y en los líquidos viscosos que fluyen, donde la fuerza viscosa es también sólo una tensión (presión generalizada) transmitida a la superficie. En esta situación, $p$ tiene $6$ componentes independientes, por lo que no puede medirlo simplemente midiendo una fuerza en una sola superficie. Tendrías que medir todos los componentes de la fuerza en 3 superficies colocadas en diferentes orientaciones. Sólo en los gases se puede confiar en que la fuerza tiene la misma magnitud sin importar la orientación.

Más información:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor

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La ecuación que expuse es la definición fundamental de la fuerza definida por la presión y es siempre correcta. No puede fallar, pero si quieres invertir para calcular la presión, entonces es tu error si pones las fuerzas o áreas equivocadas (recuerda que no puedes dividir por un vector, así que la inversión pierde información e induce suposiciones). Es algo así como $y=x^2$ siempre te da $y$ si se pone un valor de $x$ , pero la inversión $x=\sqrt{y}$ permite poner valores sin sentido (como el negativo, si estamos limitados a valores reales), y pierde el signo del resultado en el proceso.

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No se puede definir así, no es general y es erróneo si no se cumplen sus condiciones. El tensor de tensión y la presión se definen siempre como los causando fuerzas, y no al revés. Esa es sólo la explicación demasiado simplificada de la escuela primaria sobre la presión, pero físicamente, no se puede generalizar bien.

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Sobre todo porque la presión existe sin fuerzas. Las fuerzas aparecen cuando hay una superficie, son sólo efectos de frontera. La presión es más que eso. Es una cantidad más fundamental, y cuando se describe el movimiento completo de los materiales (incluyendo la deformación, el sonido, el flujo, la termodinámica), la definición de "fuerza" es poco útil y está definida "al revés".

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Nathan Feger Puntos 7675

La presión no es un escalar: es una matriz.

La expresión completa de la relación fuerza-presión-área $F=pA$ lee $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}, $$ donde $\vec F = (F_x, F_y, F_z)$ es la fuerza ejercida por el fluido sobre una determinada superficie plana, y $\vec A = (A_x, A_y, A_z)$ es el vector de área de la superficie: un vector cuya magnitud es el área de la superficie, a lo largo de una dirección que es normal a la superficie.

Ahora bien, esto parece una forma horrorosa de complicar en exceso una fórmula que puede escribirse de forma mucho más sucinta, así que: ¿por qué lo escribo así?

Básicamente, porque la relación fuerza-presión-área es sólo un simple ejemplo de la clase más amplia de formas en que la fuerza puede transmitirse a través de un medio a granel. Si dicho medio es isotrópico, como un fluido, entonces la relación se reduce a la presión, pero si el medio es un poco más complicado, entonces empiezan a aparecer cosas más interesantes, como

  • presiones desiguales a lo largo de diferentes direcciones, de modo que, por ejemplo, una superficie que apunta a lo largo de la $x$ eje experimentará menos presión que una superficie que apunta a lo largo del $y$ eje, o
  • tensiones de cizallamiento donde una superficie que apunta a lo largo de la $x$ eje puede experimentar una fuerza que no apunta en la dirección de la normal de la superficie.

Generalmente, sin embargo, como en el caso del fluido isotrópico, la fuerza seguirá dependiendo linealmente del vector área de la superficie, y ambos comportamientos anteriores pueden sintetizarse en un único producto matriz-vector de la forma $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_x & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & p_y & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & p_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}, $$ donde la matriz es la tensor de esfuerzo del medio: sus elementos diagonales son "presiones" y sus elementos no diagonales denotan tensiones de corte.

En el caso simple de un fluido, las tensiones de cizallamiento deben desaparecer, y la isotropía del fluido exige que todos los elementos diagonales sean iguales, lo que se reduce a que el tensor de tensiones sea un múltiplo de la matriz de identidad. Sin embargo, esta simplicidad a menudo puede impedirnos ver las estructuras más amplias que están en juego, y sólo cuando encontramos la generalización adecuada, todas las estructuras matemáticas encajan.

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Dimensio1n0 Puntos 3668

La presión es un escalar porque no se comporta como un vector. En concreto, no se pueden tomar las "componentes" de la presión y sumarlas en forma pitagórica para obtener su magnitud. En cambio, la presión es realmente proporcional a la suma de los componentes, $(P_x+P_y+P_z)/3$ .

La forma de entender la presión es en términos del tensor de tensiones, y la presión es igual a la traza del tensor de tensiones. Una vez entendido esto, la pregunta se vuelve equivalente a preguntas como "¿por qué el producto escalar es un escalar?" (traza del producto tensorial), "¿por qué la divergencia de un campo vectorial es un escalar?" (traza de la derivada del tensor), etc.

No hay ningún significado físico en tomar las componentes diagonales de un tensor y ponerlas en un vector -- hay es un significado físico al sumarlos, y las propiedades de invariancia del resultado te dicen que es un escalar.

Véase también: ¿Por qué necesitamos tanto el producto punto como el producto cruz?

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choloboy Puntos 1

La fórmula es $\vec{F} = p \vec{n} A$ donde $\vec{n}$ es el vector unitario perpendicular a la superficie.

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¿Y? Uno podría preguntarse "¿Por qué no definirlo como $\vec F = \vec{p}A$ ?" Su respuesta no justificar la definición, sólo la establece.

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AdrieanKhisbe Puntos 113

La presión se define por $$ P = |F| / A $$ donde $|F|$ es la magnitud de la fuerza normal, por lo que $P$ es un escalar.

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Esto es incorrecto. Considere el ejemplo de la fuerza que se aplica no perpendicular a la superficie.

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$|F|$ es la magnitud de la fuerza normal

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por fuerza normal, ¿se refiere a tomar la componente a lo largo de la dirección perpendicular a la superficie?

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