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Probabilidad de que la longitud de la pista más larga en $$ n ensayos de Bernoulli

Supongamos una visión sesgada de la moneda (probabilidad de cabeza de p$$) se volcó $$ n veces. Me gustaría encontrar la probabilidad de que la longitud de la pista más larga de los jefes, decir $\ell_n de dólares, supera un número determinado $m$, es decir $\mathbb{P}(\ell_n > m)$.

Basta con encontrar la probabilidad de que la longitud de cualquier carrera de jefes supera los $m$. Yo estaba tratando de abordar el problema de la fijación de una ejecución de $m+1$ cabezas, y contando el número de configuraciones, pero no llegar a ninguna parte.

Es fácil simular:

Distribution of the length of the longest run of head in a sequence of 1000 Bernoulli trials with 60% change of getting a head

Agradecería cualquier consejo sobre cómo analíticamente resolver este problema, es decir, expresar una respuesta en términos de una suma o de una integral.

Gracias.

57voto

goric Puntos 5230

Este problema fue resuelto mediante la generación de funciones por de Moivre en 1738. La fórmula que desea es $$\mathbb{P}(\ell_n \geq m)=\sum_{j=1}^{\lfloor n/m\rfloor} (-1)^{j+1}\left(p+\left({n-jm+1\sobre j}\right)(1-p)\right){n-jm\elegir j-1}p^{jm}(1-p)^{j-1}.$$

Referencias

  1. El artículo 14.1 de los Problemas y las Instantáneas desde el Mundo de la Probabilidad por Blom, Holst, y Sandell

  2. El capítulo V, Sección 3 Introducción a la Probabilidad Matemática por Uspensky

  3. Sección 22.6 Una Historia de la Probabilidad y la Estadística y Sus Aplicaciones antes de 1750 por Hald da soluciones por de Moivre (1738), Simpson (1740), Laplace (1812), y Todhunter (1865)


Añadió: La combinatoria de la clase de todos los sacudida de moneda secuencias sin ejecutar de $ m $ cabezas en una fila $$\sum_{k\geq 0}(\mbox{seq}_{< m }(H)\,T)^k \,\mbox{seq}_{< m }(H), $$ con las correspondientes contando de generación de función $$H(h,t)={\sum_{0\leq j< m }h^j\más de 1-(\sum_{0\leq j< m }h^j)t}={1-h^ m \más de 1-h-(1-h^ m )t}.$$ Presentamos probabilidad mediante la sustitución de $h$ con $ps$ y $t$ $q$, donde $q=1-p$: $$G(s)={1-p^ m s^ m \over1-s+p^ m s^{ m +1}q}.$$ El coeficiente de $s^n$ en $G(s)$ es $\mathbb{P}(\ell_n<m).$

La función $1/(1-s(1-p^ m s^ m p ))$ puede escribirse como \begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 0}s^k(1-p^ m s^ m q )^k &=&\sum_{k\geq 0}\sum_{j\geq 0} {k\elegir j} (-p^ m q)^js^{k+j m }\\ %&=&\sum_{j\geq 0}\sum_{k\geq 0} {k\elegir j} (-p^ m q )^js^{k+j m }. \end{eqnarray*} El coeficiente de $s^n$ en esta función es de $c(n)=\sum_{j\geq 0}{n-j m \elegir j}(-p^ m q)^j$. Por lo tanto el coeficiente de $s^n$ en $G(s)$ es $c(n)-p^ m c(n - m ).$ Finalmente, \begin{eqnarray*} \mathbb{P}(\ell_n\geq m)&=&1-\mathbb{P}(\ell_n<m)\\[8pt] &=&p^ m c(n - m )+1-c(n)\\[8pt] &=&p^ m \sum_{j\geq 0}(-1)^j{n-(j+1) m \elegir j}(p^ q m)^j+\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1}{n-j m \elegir j}(p^ q m)^j\\[8pt] &=&p^ m \sum_{j\geq 1}(-1)^{j-1}{n-j m \elegir j-1}(p^q m)^{j-1}+\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1}{n-j m \elegir j}(p^mq )^j\\[8pt] &=&\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1} \left[{n-j m \elegir j-1}+{n-j m \elegir j}p\right]p^{ jm } p^{j-1}\\[8pt] &=&\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1} \left[{n-j m \elegir j-1}p+{n-j m \elegir j-1}q+{n-j m \elegir j}p\right]p^{ jm } p^{j-1}\\[8pt] &=&\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1} \left[{n-j m \elegir j-1}p+{n-j m +1\elegir j}p \right]p^{ jm} p^{j-1}\\[8pt] &=&\sum_{j\geq 1}(-1)^{j+1} \left[p+{n-j m +1\sobre j}\, q\ \ derecho] {n-j m \elegir j-1}\,p^{ jm} p^{j-1}. \end{eqnarray*}

12voto

Sam Barnum Puntos 5019

Definir una cadena de Markov con estados $0, 1, \ldots m$, de modo que con una probabilidad de 1 $de$ la cadena se mueve desde $m$ $m$ y $i<m$ con una probabilidad de p $$ de la cadena se mueve desde $i$ a $i+1$ y con una probabilidad de $1-p$ de la cadena se mueve desde $i$ a $0$. Si usted mira el $$n ésima potencia de la matriz de transición para esta cadena puede leer la probabilidad de que en $n$ voltea a tener una secuencia de al menos $m$ consecutivos cabezas.

8voto

Tracker1 Puntos 279

Usted puede encontrar una limitante de la distribución, de lo contrario es un problema difícil y que la forma cerrada de la solución no tiene mucho valor práctico. Ver esto para un acercamiento elemental. [Actualización] enlace Anterior trasladado a esta nueva dirección. "La pista más larga de Jefes", M. F. Schilling.

7voto

palehorse Puntos 8268

No creo que usted conseguirá un simple fórmula analítica. El problema es esencialmente equivalente a este, ver mi respuesta: implica el $n$-potencia de un $m \times m$ matriz estocástica (observe que no estamos interesados en las pistas igual o mayor a $m$), mediante una cadena de Markov (como se sugiere en los comentarios por Shawn). Usted puede encontrar también hay algunos asymptotics.

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