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¿Existe una prueba sencilla de que las leyes de los circuitos de Kirchhoff proporcionan siempre un conjunto de ecuaciones exactamente completo?

Supongamos que tengo un complicado circuito eléctrico compuesto exclusivamente por resistencias y fuentes de tensión y corriente, cableadas de forma complicada. La forma estándar de resolver el circuito (es decir, encontrar el voltaje y la corriente a través de cada elemento del circuito) es formular las leyes de Kirchhoff para la corriente y el voltaje, y éstas darán lugar a ecuaciones lineales que permiten resolver todas las cantidades relevantes.

Sin embargo, hay dos problemas con estas leyes:

  • Hay demasiados. Por ejemplo, en el circuito sencillo que se muestra a continuación, hay tres posibles bucles diferentes que se pueden dibujar, pero sólo dos voltajes independientes. Del mismo modo,

  • Las ecuaciones no son todas independientes. En el circuito siguiente, las ecuaciones de conservación de la corriente para los dos nodos diferentes resultan ser exactamente la misma ecuación.



Afortunadamente, en la vida real, estos problemas se cancelan exactamente, y se obtiene exactamente el número correcto de ecuaciones para resolver el circuito. Nunca hay demasiadas restricciones contradictorias (el sistema lineal nunca es sobredeterminado ) y siempre hay suficientes ecuaciones para precisar todo (el sistema lineal nunca es sub-determinado ).

¿Por qué? ¿Existe una prueba sencilla de este hecho? ¿Cuáles son las razones fundamentales para ello?

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Para una discusión y prueba detallada, véase el capítulo 12 del volumen 2 de un curso de matemáticas para estudiantes de física . amazon.com/Curso-Estudiantes-Matemáticas-Física-Bk/dp/0521332451

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El concepto de homología y cohomología en los circuitos eléctricos es bastante relevante aquí (cf. este & este ). El número de bucles esenciales (1-círculos) viene dado por el primer número de Betti, mientras que las tensiones forman los 1-círculos. De hecho, el estudio de la homología se inspiró en parte en el estudio de las leyes de Kirchoff (cf. El artículo de Weyl de 1923 ).

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Hu Al Puntos 46

La respuesta no es muy sencilla, para demostrarlo necesitamos algo de teoría de grafos y matrices. Hay un hermoso documento que explica esta relación en detalle:

Gráficos, matrices y teoría de circuitos . Takis Konstantopoulus, febrero de 2000.

Disponible en Semantic Scholar ; enlace original en la Universidad de Uppsala (ahora muerto; versión archivada ).

Creo que la "razón fundamental" de esto está relacionada con el hecho de que que cada bucle tiene diferentes variables, si podemos generar un bucle utilizando otro bucle las ecuaciones no serán independientes, por supuesto esta es mi opinión, toda la matemática está en el documento.

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En realidad, las matemáticas son bastante accesibles. La noción de árbol de expansión es bastante intuitiva, y a partir de ahí cada arista que no está en el árbol de expansión enlaza dos nodos del árbol. Como esos dos nodos comparten un único ancestro en el árbol, esto define un ciclo único.

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El documento no aborda realmente la cuestión planteada por la respuesta de Ryan Hazelton. En la sección 10, dicen: "Presentamos la solución de "cualquier" circuito lineal. En primer lugar, suponemos que el circuito está bien definido. Dejamos esta noción vaga, pero lo que queremos decir es que el circuito no debe contener, por ejemplo, fuentes de corriente conectadas de forma que violen KCL, ni fuentes de tensión que violen KVL". Pero... esto significa que no han resuelto realmente el problema en general.

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Matthew Brown Puntos 1

He aquí un contraejemplo:

Supongamos que dos pilas idénticas e ideales (con resistencia interna nula) están conectadas en paralelo a través de una sola resistencia; equivalentemente, sustituya una de las resistencias de su diagrama por una segunda pila idéntica. Suponga también que los cables conductores son ideales (de nuevo, sin resistencia).

Las leyes de Kirchhoff en este caso dan como resultado un sistema subdeterminado. Si la corriente a través de la resistencia simple es I y la tensión en las dos baterías ideales es V No se puede encontrar la corriente a través de ninguna de las dos baterías utilizando únicamente las leyes de Kirchoff; ambos bucles dan el voltaje a través de la resistencia como V y ambas uniones dicen que la suma de las corrientes a través de las baterías debe ser igual a I pero no permiten calcular ninguna de esas corrientes. Por ejemplo, una corriente de 3 I hasta una batería y 2 I a través de la otra satisface el sistema de ecuaciones. En este caso hay que utilizar un argumento de simetría para concluir que la corriente a través de cada pila es I /2.

Sin embargo, esto no es un problema si se utilizan equipos del mundo real, ya que las fuentes de tensión siempre tienen una cierta resistencia interna asociada. Así que si estamos de acuerdo en utilizar elementos de circuito no ideales, entonces estoy de acuerdo con la respuesta que ha dado @Hu.

Esto plantea indirectamente otra cuestión: ¿tienen sentido las leyes de Kirchoff en los circuitos ideales? Estoy seguro de que hay muchos más ejemplos como el anterior, en los que el sistema de ecuaciones lineales resultante está infradeterminado (aunque dudo que haya casos que estén sobredeterminados). Utilizamos situaciones ideales para modelar sistemas reales, pero ¿es una buena idea cuando las respuestas son indeterminadas en el caso ideal?

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Y el sistema de espejo (sobredeterminado) tiene dos fuentes de corriente en un ciclo, pero con direcciones de corriente opuestas.

5 votos

En la teoría de los circuitos ideales, la conexión de dos fuentes de tensión ideales en paralelo es, en general, una circuito por la misma razón que no es válido conectar dos fuentes de corriente ideales en serie ya que, en general, resulta una contradicción, por ejemplo, 1 = 2. Hay ejemplos válidos de circuitos subdeterminados con dependiente fuentes (controladas).

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@AlfredCentauri: Eso no aborda realmente la cuestión. La cuestión sería cómo reconocer si las fuentes de voltaje en un circuito complicado son consistentes o no.

2voto

Adam Mosheh Puntos 117

Esta respuesta es una adaptación del problema 1.4 de Utilizamos el álgebra lineal Un libro de problemas resueltos de álgebra lineal (de libre acceso en Internet, pero desgraciadamente sólo en checo, AFAIK). Demostraré que con las siguientes suposiciones:

  • Se trata de un circuito de corriente continua o alterna (de baja frecuencia) cuyos únicos elementos son resistencias y fuentes de tensión ideales,
  • Cada borde del circuito lleva una resistencia distinta de cero (positiva),

Las leyes del circuito de Kirchhoff dan una solución única para la corriente y la tensión en cada elemento del circuito.

Primero algunos comentarios. La singularidad es fácil de entender por motivos físicos. La linealidad de las leyes de Kirchhoff implica que sólo puede haber más de una solución si el mismo circuito con las fuentes eliminadas (es decir, su tensión puesta a cero sin cambiar la topología del circuito) puede soportar corrientes no triviales. La suposición de una resistencia positiva de cada borde del circuito hace que esto sea físicamente imposible debido a la conservación de la energía. Por la misma razón, creo que la misma afirmación es válida para circuitos de CA con otros elementos que no sean resistencias, siempre que la impedancia de cada arista tenga una parte real positiva. Sin embargo, no me resulta evidente cómo se generaliza a este caso el siguiente argumento. También se puede ver fácilmente que dejar de suponer que la resistencia es positiva puede llevar tanto a ambigüedades en la solución como a patologías: ver las respuestas de Ryan Hazelton y Alfred Centauri. Por último, el mismo argumento debería aplicarse a los circuitos con actual fuentes debido a la dualidad entre los dos tipos de fuentes; la suposición de que el ideal tensión fuentes es sólo para simplificar la notación.

Ahora a los negocios. Asumiré WLOG que el circuito está representado por un grafo conectado; de lo contrario, uno simplemente considera todos los componentes conectados uno por uno. El argumento sigue esencialmente el método de tensión de nodo . En el primer paso, nos damos cuenta de que la segunda ley de Kirchhoff (de la tensión) es equivalente a la existencia de un potencial en la gráfica. Supongamos que el circuito tiene $N$ vértices (nodos). Podemos elegir el potencial de uno de ellos arbitrariamente, digamos $u_1=0$ . Para una solución dada de las leyes de Kirchhoff, podemos entonces obtener el potencial $u_i$ de la $i$ -vértice sumando las caídas de tensión sobre las resistencias y las tensiones suministradas por las fuentes sobre cualquier camino que conecte el $i$ -vértice a $u_1$ . La segunda ley de Kirchhoff garantiza que el resultado para $u_i$ es independiente de la elección del camino y, por tanto, está bien definido.

En el segundo paso, tratamos un conjunto de ecuaciones para los potenciales desconocidos $u_2,\dotsc,u_N$ , implícita en la primera ley (de la corriente) de Kirchhoff. Sólo consideramos los vértices $2,\dotsc,N$ , lo que da $N-1$ ecuaciones para el $N-1$ potenciales desconocidos. La ecuación para el $i$ -el vértice número uno se lee simbólicamente $$ \sum_j\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij})=0, $$ donde la suma es sobre todos los vértices $j$ conectado a $i$ por un borde, $R_{ij}$ denota la resistencia en el borde $ij$ y $U_{ij}$ la tensión suministrada por las fuentes de la misma. Podemos escribir este conjunto de ecuaciones en forma de matriz, $M\vec u=\vec U$ , donde $\vec u=(u_2,\dotsc,u_N)^T$ y $\vec U$ contiene los datos de origen. Los elementos diagonales de la matriz $M$ son $$ M_{ii}=\sum_j\frac1{R_{ij}}, $$ mientras que los elementos no diagonales son $$ M_{ij}= \begin{cases} -1/R_{ij}\text{ if $ i $ and $ j $ are connected and $ j \neq1$,}\\ 0\text{ otherwise.} \end{cases} $$ La positividad de todas las resistencias implica que $$ \sum_{j\neq i}|M_{ij}|\leq|M_{ii}| $$ para todos $i=2,\dotsc,N$ . Además, existen tales $i$ (los conectados por una arista a $u_1$ ) para la que se cumple la desigualdad estricta. Esto implica que la matriz $M$ es dominante en diagonal y, por tanto, invertible. Esto garantiza que el conjunto de ecuaciones para los potenciales $u_2,\dotsc,u_N$ tiene una solución única.

Una vez que se conocen todos los potenciales, las corrientes a través de todos los bordes del circuito se reconstruyen fácilmente. La corriente a través de la arista $ij$ es, simbólicamente, $$ I_{ij}=\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}). $$ Esto concluye el argumento, y muestra matemáticamente por qué la suposición de resistencias positivas es una suficiente condición para establecer la existencia de una solución única. De forma más general, existe una solución única siempre que la matriz definida anteriormente $M_{ij}$ que depende de la topología del circuito y de las resistencias, pero no de las fuentes, es no singular. En caso de que $M_{ij}$ ser singular, puede haber más de una solución, o ninguna, como se sabe por álgebra lineal .

0voto

siempre hay suficientes ecuaciones para precisar todo (el sistema lineal nunca está infradeterminado).

Este es un circuito ideal simple, que consiste en una fuente de corriente controlada por tensión (VCCS) y una resistencia, donde la corriente de la resistencia $I_R$ es indeterminado por las ecuaciones del circuito:

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La tensión a través de la resistencia (el terminal superior es positivo) viene dada por la ley de Ohms:

$$V_R = I_R\cdot 1\Omega$$

La tensión de control VCCS es igual a $V_R$ por KVL, y la corriente de la resistencia es igual a la corriente VCCS por KCL. Por lo tanto, la corriente de la resistencia viene dada por

$$I_R = V_R \cdot 1\mho$$

y así las ecuaciones del circuito dan como resultado

$$ I_R = I_R\cdot 1\Omega\cdot 1\mho = I_R$$

Eso es, cualquier valor para $I_R$ resuelve este circuito.


Actualización para abordar este comentario:

La pregunta enumera los componentes permitidos. Un VCCS no es uno de ellos. - Ben Crowell hace 1 hora

De hecho, la pregunta enumera (1) resistencias, (2) fuentes de tensión y (3) fuentes de corriente como los componentes permitidos según la frase inicial:

Supongamos que tengo un circuito eléctrico complicado que está compuesto exclusivamente de resistencias y fuentes de tensión y corriente...

Ahora un VCCS es a fuente de corriente . El término "fuente de corriente", sin calificar con independiente o dependiente (controlado) puede referirse a cualquiera de los dos tipos.

Un fuente de corriente ideal genera una corriente que es independiente de los cambios de voltaje a través de él. ... Si la corriente a través de una fuente de corriente ideal puede especificarse independientemente de cualquier de cualquier otra variable en un circuito, se denomina fuente de corriente independiente fuente . A la inversa, si la corriente a través de una fuente de corriente ideal está está determinada por algún otro voltaje o corriente en un circuito, se llama a fuente de corriente dependiente o controlada .

Es puede ser que Emilio sólo esté interesado en circuitos con independiente fuentes para esta pregunta. Pero ciertamente no es el caso de que la pregunta lo diga explícitamente, ni es el caso de que uno pueda concluir racionalmente que las fuentes dependientes están obviamente excluidas de la consideración.

Así que, a menos que Emilio edite su pregunta para indicar explícitamente que sólo se deben considerar los circuitos con resistencias y fuentes independientes, dejaré esta respuesta como está.

-4voto

KR136 Puntos 46

El segundo problema resuelve el primero. Si se conocen suficientes datos de la medición, el estado del sistema se determina de forma única. Si más que se hayan medido suficientes datos, esto no afectará a la solución, a no ser, por supuesto, que no se cumplan los supuestos de Kirchhoff o que las ecuaciones de Maxwell sean erróneas.

En cuanto a las razones fundamentales solicitadas, las leyes de Kirchhoff se derivan directamente de las ecuaciones de Maxwell, que implican la conservación de la corriente y la desaparición de ${\bf \nabla} \times {\bf E} $ bajo los supuestos de Kirchhoff.

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