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¿Cómo encontrar el grupo de Galois de un polinomio?

He estado aprendiendo acerca de la teoría de Galois recientemente por mi cuenta, y he estado tratando de resolver las pruebas de mi universidad. Aunque entiendo que todos los teoremas, me parece que estoy teniendo algunos problemas con las cosas técnicas. Un ejemplo concreto sería la manera de encontrar el grupo de Galois de un polinomio. Sé que algunos trucos, y me las arreglo para resolver algunas de estas preguntas, pero algunos no.

Por ejemplo, una de las pruebas que pide a encontrar el grupo de Galois de $x^{4}-4x+2$.

Puedo ver que es irreductible más de $\mathbb Q$ (Eisenstein), pero no tengo ni idea de cómo encontrar su grupo de Galois de más de $\mathbb Q$. Alguien puede decirme cómo hacerlo? Técnicas generales relativas a este tipo de problemas también son bienvenidos :).

Gracias!

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Matt Dawdy Puntos 5479

No hay pruebas estándar para polinomios de grado $3$ y $4$, y más allá de que existen estrategias que a veces funcionan y a veces no. Hay bastante debate en profundidad en Keith Conrad expositiva papeles aquí (grados $3$ y $4$) y aquí (grupos de Galois $S_n$ y $A_n$).

Para irreductible polinomios de cuarto grado, hay cinco posibles grupos de Galois: $S_4, A_4, D_4, V_4, C_4$. El polinomio $x^4 - 4x + 2$ tiene un punto extremo, por lo que tiene $2$ o $0$ verdaderas raíces, y por la inspección tiene $2$. Eso significa que el complejo de la conjugación es un elemento del grupo de Galois, y actúa como una transposición.

Edición, 6/27/15: La respuesta original aquí contenía un error; en este punto, sabemos que el grupo de Galois es de $S_4$ o $D_4$, ya que estas son las dos posibilidades que contienen una transposición. Para resolver esta ambigüedad puede utilizar las técnicas descritas en Keith Conrad documentos de arriba o aquí.

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lhf Puntos 83572

El grupo de Galois de un polinomio es un transitiva permutación grupo de sus raíces. ¿Cuántas raíces reales tiene? ¿Qué se puede decir acerca de la no-bienes raíces? ¿Cuáles son los transitiva subgrupos de $S_4$? Para aquellos, ver http://hobbes.la.asu.edu/Groups/group-data/degree4.html desde Transitiva Grupo de Datos.

Considere la posibilidad de la división de campo. Desde la adición de una verdadera raíz del polinomio le da una extensión de grado de 4 y que no existen raíces reales, el grado de la división de extensión es de al menos 8, es decir, es un múltiplo de 8. Así, el grupo de Galois es de $D_8$ (el diedro grupo de orden 8) o $S_4$.

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