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¿Cómo encontrar el grupo Galois de un polinomio?

He estado aprendiendo sobre la teoría de Galois recientemente por mi cuenta, y he estado tratando de resolver pruebas de mi universidad. Aunque entiendo todos los teoremas, parece que tengo algunos problemas con las cosas técnicas. Un ejemplo específico sería cómo encontrar el grupo de Galois de un polinomio determinado. Conozco algunos trucos, y me las arreglo para resolver algunas de esas preguntas, pero otras no.

Por ejemplo, una de las pruebas pide encontrar el grupo Galois de $x^{4}-4x+2$ .

Puedo ver que es irreducible sobre $ \mathbb Q$ (Eisenstein), pero no tengo ni idea de cómo encontrar su grupo Galois sobre $ \mathbb Q$ . ¿Alguien puede decirme cómo hacer esto? Las técnicas generales relativas a este tipo de problemas también son bienvenidas :).

¡Gracias!

137voto

Chris Benard Puntos 1430

Este es un intento de escribir una respuesta canónica que enumere las técnicas para calcular los grupos de Galois de polinomios explícitos, principalmente sobre $\mathbb{Q}$ como se describe en este hilo meta . Esta respuesta es CW para animar a otros a añadir técnicas.

Computabilidad: Sobre cualquier campo razonable $K$ como por ejemplo $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{F}_p$ , $\mathbb{Q}(t)$ etc, los grupos de Galois son computables. Véase Campos computables y teoría de Galois de Russel Miller para un buen resumen de este tema. Los lógicos pueden construir campos contables $K$ donde las operaciones básicas de campo $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ son computables, pero la pregunta "¿es $D$ cuadrado?" no es computable. En tal campo, no podemos calcular el grupo de Galois del campo de división de $x^2-D$ . Sin embargo, esta no es la cuestión que pretende abordar esta respuesta y, como se describe en el artículo enlazado, existen muy buenos criterios para demostrar que los campos que se encuentran en la práctica ordinaria no presentan este fenómeno.

Aunque los grupos de Galois son computables, el cálculo de los grupos de Galois, tanto por los sistemas informáticos como por los estudiantes de los cursos de teoría de Galois, no sigue un único algoritmo, sino que implica un abanico de métodos que se utilizan para demostrar hechos sobre el grupo $G$ hasta que se acumulen suficientes datos para distinguir un grupo concreto. El objetivo principal de esta entrada es enumerar dichas técnicas. He enumerado los métodos más o menos en el orden en que los sacaría. Algunos métodos se han dejado en blanco por ahora; ¡siéntase libre de completarlos antes de que yo lo haga!

Varios de estos métodos se utilizan principalmente para demostrar $G$ es grande, o se utiliza principalmente para probar $G$ es pequeño. En este caso, he puesto "GRANDE" o "PEQUEÑO" después del título del asunto.

También planeo poner algunos lemas útiles sobre subgrupos de permutación al final, ya que cuanto más se sepa sobre subgrupos de $S_n$ Cuanto menos datos se necesiten sobre un grupo $G$ para identificarlo.


Como supongo que ya entiendes, si $f$ es un polinomio separable de grado $n$ , con raíces $\theta_1$ , $\theta_2$ , ..., $\theta_n$ y $L$ es el campo de división de $f$ en $K$ entonces $Gal(L/K)$ es un subgrupo de $S_n$ que pueden considerarse como permutaciones de las raíces.

Observar las relaciones aditivas y multiplicativas evidentes entre las raíces (SMALL) Dejemos que $f(x) = x^4+2 x^2 + 3$ . Dado que todos los exponentes en $f$ son pares, si $\theta$ es una raíz, entonces también lo es $-\theta$ . Sean las raíces $(\theta_1, -\theta_1, \theta_2, -\theta_2)$ . Así que cualquier simetría de Galois debe tomar el par (desordenado) $\{ \theta_1, - \theta_1 \}$ ya sea para $\{ \theta_1, - \theta_1 \}$ o $\{ \theta_2, - \theta_2 \}$ .

Del mismo modo, dejemos que $f(x) = x^4 + 2 x^3 + 5 x^2 + 2 x + 1$ . Como este polinomio es palindrómico si $\theta$ es una raíz, entonces también lo es $\theta^{-1}$ . Escribiendo las raíces como $(\theta_1, \theta_1^{-1}, \theta_2, \theta_2^{-1})$ se obtienen restricciones similares en $G$ . También se pueden ver relaciones multiplicativas más complicadas: Si $\theta_1$ y $\theta_2$ son dos raíces de $x^5-2=0$ entonces también lo es $\theta_2^2/\theta_1$ ; relaciones de la forma $\theta_3 = \theta_2^2/\theta_1$ restringir rápidamente el grupo de Galois para que sea un subgrupo de un $20$ grupo de elementos.

Irreductibilidad de polinomios y acciones de grupos transitivos El polinomio $f$ es irreducible si y sólo si el grupo de Galois es transitivo. Wolfram alpha, Mathematica, Maple, SAGE, etc. factorizarán polinomios por ti.

Para demostrar que los polinomios son irreducibles a mano, se puede utilizar El criterio de Eisenstein o puede tratar de encontrar un primo $p$ tal que $f$ no es un factor de módulo $p$ . Sin embargo, hay polinomios que son irreducibles pero para los que ninguna de estas pruebas lo demuestra.

Conjugación compleja (LARGE) Supongamos que $K$ es un subcampo de $\mathbb{R}$ (como los racionales). Sea $\theta_1$ , $\theta_2$ , ..., $\theta_n$ sean las raíces de $f$ , considerados como números complejos. De nuevo, Wolfram alpha o cualquier sistema de álgebra computacional encontrará el $\theta$ es para ti.

Si hay $r$ raíces reales y $2s$ raíces complejas entre los $\theta$ 's, entonces $G$ contiene una permutación de clase de conjugación $(1\ 2) (3\ 4) \cdots (2s-1 \ 2s)$

Discriminantes Definir $\beta = \prod_{i<j} (\theta_i - \theta_j)$ y $\Delta = \beta^2$ . Desde $\Delta$ es simétrica en el $\theta$ 's, está en el campo de la tierra $K$ y es bastante razonable de calcular. El número $\Delta$ se llama discriminante de $f$ . El grupo de Galois $G$ está contenida en $A_n$ si y sólo si $\beta$ está en $K$ En otras palabras, si y sólo si $\Delta$ es cuadrado en $K$ .

Aquí es una sesión de muestra de Wolfram alpha, en la que se verifica que el grupo de Galois del campo de división de $-1 - 2 x + x^2 + x^3$ está contenida en $A_3$ .

Reconocer $S_n$ y $A_n$ (GRANDE) Un polinomio aleatorio sobre $\mathbb{Q}$ tiene una probabilidad muy alta de tener el grupo de Galois $S_n$ . (Ver este documento de Cohen para un límite preciso). Así que vale la pena poder reconocer el grupo de Galois $S_n$ al principio del proceso. Keith Conrad ha buenas notas sobre cómo hacerlo. Los grupos de Galois que aparecen en los conjuntos de problemas en los cursos de teoría de Galois tienen una menor probabilidad de ser $S_n$ . :-)

Módulo de reducción $p$ /Teorema de la densidad de Chebotarev (LARGO, pero útil en ambos sentidos) Supongamos que $p$ no divide el discriminante de $f$ . Dejemos que $f$ factor modulo $p$ en factores de grados $(h_1, h_2, \ldots, h_d)$ . Entonces $G$ contiene un elemento con ciclos de longitud $h_1$ , $h_2$ , ..., $h_d$ . A la inversa, por el teorema de la densidad de Cebatarov, si $G$ contiene un elemento de tipo ciclo $(h_1, h_2, \ldots, h_d)$ , entonces hay un primo $p$ tal que $f$ factores modulares $p$ con factores de ese tamaño. Véase el artículo de David Speyer blogpost , La exposición de Hendrik Lenstra o Notas de Keith Conrad .

He aquí un ejemplo:

Table[Factor[X^4 + 4 X^3 + 12 X^2 + 24 X + 24, Modulus -> Prime[n]], {n, 3, 10}]

produce

{(4 + X) (1 + 2 X + X^3), (5 + X) (2 + 3 X + 6 X^2 + X^3), 
 (3 + X) (8 + 9 X + X^2 + X^3), (12 + X) (2 + 4 X + 5 X^2 + X^3), 
 (16 + X + X^2) (10 + 3 X + X^2), (14 + 11 X + X^2) (18 + 12 X + X^2), 
 (17 + X) (19 + 3 X + 10 X^2 + X^3), (22 + X) (9 + 2 X + 11 X^2 + X^3)}

Todos los polinomios tienen tipo de ciclo $(3,1)$ o $(2,2)$ , lo que demuestra que $G$ contiene esos tipos de ciclos, y produciendo una fuerte evidencia de que $G$ está contenida en un grupo que sólo tiene ciclos de ese tipo. Eso no puede ser del todo correcto, porque $G$ contiene la identidad con tipo de ciclo $(1,1,1,1)$ buscando hasta $p=71$ encuentra tal factorización. Pero incluso llevando la búsqueda tan lejos, sólo vemos tipos de ciclos $(1,1,1,1)$ , $(3,1)$ , $(2,2)$ , lo que sugiere que $G = A_4$ . De hecho,

Discriminant[X^4 + 4 X^3 + 12 X^2 + 24 X + 24, X]

salidas $331776=576^2$ para que sepamos $G \subseteq A_4$ y los datos anteriores muestran que $G$ contiene un $3$ -y contiene un elemento de tipo $(2,2)$ Así que $G = A_4$ .

Distinguir $D_4$ y $C_4$ Dejemos que $f(x) = x^4 - 5 x^2 + 5$ . Desde $f(x)$ es par, si $\theta$ es una raíz, también lo es $- \theta$ . Esto demuestra que $G$ es un subgrupo de $D_4$ las simetrías diédricas de un cuadrado. Como el polinomio es irreducible, la acción sobre un $4$ es transitivo, lo que hace que $G$ o bien $D_4$ el grupo cíclico $C_4$ o $C_2 \times C_2$ con los generadores $(12)(34)$ y $(13)(24)$ . Como el discriminante es $2000$ que no es cuadrado, no está contenido en $A_4$ lo que descarta $C_2 \times C_2$ .

Factorización módulo $p$ no encuentra factores con el tipo de ciclo $(1,1,2)$ lo que sugiere fuertemente $G$ es $C_4$ . Pero eso no es una prueba. Este caso particular se presenta lo suficiente (¡especialmente en los exámenes!) como para que existan métodos especiales para ello, véase Notas de Keith Conrad o mi respuesta aquí .

Pruebas de $k$ -Transitividad (GRANDE) De manera más general, dejemos que $\beta = \theta_1 + 2 \theta_2 + \cdots + k \theta_k$ y que $g(x)$ sea el polinomio mínimo de $\beta$ . Si $g(x)$ tiene grado $n(n-1) \cdots (n-k+1)$ entonces $G$ es $k$ - transitivo en $(\theta_1, \ldots, \theta_n)$ . Si hay algún número de la forma $\theta_{s_1} + 2 \theta_{s_2} + \cdots + k \theta_{s_k}$ que no es una raíz de $g$ entonces el grupo $G$ no es $k$ -transitivo. Dado que el $k$ -Los grupos transitivos han sido clasificados para $k \geq 3$ (ver enlace anterior), esto puede ser muy útil para identificar $G$ .

He aquí un pequeño ejemplo. Tome $f(x) = x^4-4 x^3+2 x^2+4 x-6$ . Comprobamos que $f$ es irreducible:

f = x^4 - 4 x^3 + 2 x^2 + 4 x - 6;
Factor[f]

Almacenamos las raíces de $f$ en variables t1 , t2 , t3 , t4 . (Mathematica puede realmente resolver este polinomio con exactitud, pero esto es sólo un ejemplo).

{t1, t2, t3, t4} = x /. Solve[f == 0, x];

b = t1 + 2 t2;

g = MinimalPolynomial[b, x] 
(* Output is 42 - 84 x + 50 x^2 - 12 x^3 + x^4 *)

Desde $g$ tiene grado $4$ concluimos que el grupo $G$ probablemente tiene una órbita de tamaño $4$ actuando sobre pares ordenados de distintos $\theta_i$ 's. Para una demostración cuidadosa, necesitamos asegurarnos de que no tenemos igualdades accidentales de la forma $\theta_i+2 \theta_j = \theta_k + 2 \theta_{\ell}$ . En particular, comprobamos que $g(\theta_1+2 \theta_3) \neq 0$ Así que $(1,2)$ y $(1,3)$ están en órbitas diferentes para el $G$ -acción. Este ejemplo es lo suficientemente pequeño para que Mathematica lo haga exactamente, pero haré el cálculo numéricamente porque es una buena práctica para ejemplos más grandes:

N[g /. x -> t1 + 2 t3]
(* Output is 198.996 + 220.833 I *)

Resultantes relativas

Instalación de PARI, GAP o MAGMA Esta sección trata sobre qué sistemas de álgebra computacional han implementado algoritmos generales para hacer esto, y dónde conseguirlos.


Lemas útiles sobre subgrupos de $S_n$

29voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Existen pruebas estándar para polinomios de grado $3$ y $4$ Y más allá de eso hay estrategias que a veces funcionan y a veces no. Hay una discusión bastante completa en los documentos expositivos de Keith Conrad aquí (grados) $3$ y $4$ ) y aquí (grupos de Galois $S_n$ y $A_n$ ).

Para los polinomios cuárticos irreducibles, hay cinco grupos de Galois posibles: $S_4, A_4, D_4, V_4, C_4$ . El polinomio $x^4 - 4x + 2$ tiene un punto extremo, por lo que tiene $2$ o $0$ raíces reales, y por inspección tiene $2$ . Esto significa que la conjugación compleja es un elemento del grupo de Galois, y actúa como una transposición.

Edición, 27/06/15: La respuesta original aquí contenía un error; en este punto sabemos que el grupo de Galois es $S_4$ o $D_4$ ya que son las dos posibilidades que contienen una transposición. Para resolver esta ambigüedad se pueden utilizar las técnicas descritas en los documentos de Keith Conrad anteriormente o aquí .

3 votos

Sería más útil que tu enlace en "aquí" fuera directamente al archivo .pdf en lugar de a mi página web, porque hay muchos archivos allí. Creo que ya cometiste ese error una vez en tu pregunta math.stackexchange.com/questions/38467/ pero más tarde lo arreglé con un enlace directo en .pdf.

1 votos

Anotado. He enlazado a los dos más relevantes.

12 votos

No lo hace $D_4$ ¿contiene también una transposición? (reflexión sobre una diagonal)

7voto

lhf Puntos 83572

El grupo de Galois de un polinomio es un transitivo grupo de permutación de sus raíces. ¿Cuántas raíces reales tiene? ¿Qué puedes decir de las raíces no reales? ¿Cuáles son los subgrupos transitivos de $S_4$ ? Para ellos, véase http://hobbes.la.asu.edu/Groups/group-data/degree4.html de Datos del grupo transitivo .

Considere el campo de división. Dado que la adición de una raíz real del polinomio da un grado de extensión de 4 y que hay raíces no reales, el grado de la extensión de división es al menos 8, es decir, es un múltiplo de 8. Por lo tanto, el grupo de Galois es $D_8$ (el grupo diedro de orden 8) o $S_4$ .

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Lo siento, pero sigo sin verlo...

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@IBS, no digo que sea inmediato.

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