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¿Por qué necesitamos variedades que un espacio topológico?

A grandes rasgos, podemos definir un colector $M$ para ser cubiertas por un conjunto de gráficos de $\{(U_i , \varphi_i)\}$ tal de que a nivel local la $n$-dimensiones de los colectores se parece a $\mathbb{R}^n$. Una de las condiciones es que todas las $U_i$ son bloques abiertos de la topología de la variedad.

¿Por qué se requiere el colector de ser un espacio topológico? Y ¿por qué queremos que $U_i$ a estar abierto? ¿Cuáles son las implicaciones de estos requisitos en la física? (A mí me parece que sin estas condiciones el colector todavía se ve localmente como $\mathbb{R}^n$.)

Editar para hacer mi pregunta más concreta: ¿hay teorías físicas que utilizan colectores que no son espacios topológicos? Por ejemplo, ¿qué pasaría con la relatividad general si los espacios son diffeomorphic el uno al otro, en lugar de homeomórficos (véase la respuesta a continuación por Robin Ekman)?

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Tienes muchos comentarios en el sentido de que "la topología es necesario para describir la continuidad, cálculo de los conceptos, la noción de "se parece a", homeomorphism y así sucesivamente". Y todos estos son del todo bien, pero estoy consiguiendo que tu pregunta es acerca de la imagen global. También, el siguiente es principalmente acerca de una toplological o variedad diferenciable; Joshphysics del enlace muestra que hay muchos otros conceptos de colector.

Comenzamos con la noción de "localmente se parece a $\mathbb{R}^N$"; pero usted puede tener un conjunto $\mathbb{M}$ de cualquier tipo de extrañas criaturas cuyos subconjuntos que se puede poner en uno-a-uno, surjective correspondencia con algunos abiertos (más sobre esto abajo) subconjunto de $\mathbb{R}$ (wontedly simplemente conectado barrio de el origen). Para uno de estos subconjuntos $\mathcal{N}$ tiene un "etiquetadora" mapa de $\lambda:\mathcal{N}\to\mathbb{R}^N$. Entonces usted nociones de abrir, barrio y todo el resto de surgir por definición: un subconjunto $\mathcal{O}\subset\mathcal{N}$ es abrir el fib $\lambda(\mathcal{O})$ está abierto en $\mathbb{R}^N$. Asimismo, un "camino" $\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{N}$ $C^0,\,C^1\, C^\omega$ o lo que sea iff $\lambda\circ \sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$ tiene la misma propiedad. Todos topología, el barrio, el cálculo, la diferenciabilidad y así sucesivamente conceptos se definen por "fiat", y la necesidad de los conceptos es por eso que queremos que nuestros zoológico de seres extraños "localmente parecerse a $\mathbb{R}^N$" en el primer lugar, así que esto es todo muy intuitivo y evidente.

Así que supongo (también mediante la lectura de sus otras preguntas de sondeo en este sitio) que usted ya sabe todo esto. Así que la pregunta crucial es entonces que de transistion mapas y cómo nos pegue a todos nuestros copias locales de $\mathbb{R}^N$ juntos. Volviendo a nuestro subconjunto $\mathcal{N}\subset\mathbb{M}$:hay otros locales "copias" de $\mathbb{R}^N$ que otorgar a nuestros topológico / cálculo y así sucesivamente conceptos en los subconjuntos de a $\mathbb{M}$ otros de $\mathcal{N}$. Pero estos subconjuntos deben superponerse, porque, cuando estamos haciendo un cálculo o toplogy o dinámica o lo que sea, no queremos que de repente a ejecutar en un "coordinar la pared" y tiene que saltar de repente de un sistema de coordenadas a otro. Como un ejemplo, supongamos que tenemos una nave espacial en un colector de Einstein (universo, que es una solución de vacío para el EFEs). Para el cálculo, medición y de otros conceptos matemáticos, siempre debemos ser capaces de definir el colector en un barrio alrededor de la nave espacial: así que, como la nave espacial se acerca a la frontera de un sistema de coordenadas, también debe ser descriptible por otro sistema de coordenadas en el cual podemos tener un "barrio": no podríamos hacerlo si nuestros sistemas de coordenadas no se superponen sino que dividieron el colector $\mathbb{M}$. De otra manera, en la relatividad, la frontera entre los sistemas de coordenadas es un artefacto de nuestro particular de la descripción matemática de la física, que hace que no pertenecen a la física. Otro, dramático, ejemplo de ello es el fenómeno de gimbal lock en ángulo de Euler gráficos para la unidad de la esfera que muy nighly costo de los astronautas del Apollo 11 de sus vidas, el costo de muchos de los pilotos de sus vidas en los años antes y es la razón por la que el software de procesamiento de señales de fibra anillo de Sagnac giroscopios que mantenerse seguro en un avión comercial manipular el avión se calcula en la orientación de la superposición de dos mapas que cubren $SO(3)$ o, más recientemente, el modelo del avión de orientación por unidad de cuaterniones en $SO(3)$'s de doble cubierta de la $SU(2)$.

Por lo tanto, nuestra superposición es muy necesaria, por lo que muchas, si no todas, de las regiones en el colector puede ser descrito por más de una copia local de $\mathbb{R}^N$ con más de una etiquetadora. Así, supongamos que tenemos dos regiones $\mathcal{N}_1,\,\mathcal{N}_2$ con etiquetadoras $\lambda_1:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$, $\lambda_2:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$: debemos asegurarnos de que estas etiquetadoras rendimiento consistente nociones de opennes, la vecindad, la diferenciabilidad y todo el resto en una región $\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$. Así, un conjunto $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$ debe estar abierto como reckonned por etiquetadora $\lambda_1$ e $\lambda_2$ $\lambda_1\circ\lambda_2^{-1}$ $\lambda_2\circ\lambda_1^{-1}$ , los "mapas de transición" entre gráficos, debe ser local homeomorphisms, analítica, diffeomorphisms, o cualquiera que sea la noción relevante es para el tipo de colector en cuestión. De la misma manera por todos los demás cálculo y topológicas de los conceptos que deseamos hablar. Esto es más fácil de lograr si los gráficos (los rangos de la etiquetadoras $\lambda_j$) están abiertas, y sus intersecciones están abiertos como reckonned por todas las copias locales de $\mathbb{R}^N$ que son aplicables a la superposición. Así que tenemos dos axiomas para los colectores además de la obvia de que cada punto en el colector debe pertenecer a la preimagen de al menos una etiquetadora:

  1. Una intersección entre dos "parches" (los dominios de las etiquetadoras) debe estar abierto en la topología como reckonned por cada uno de los dos etiquetadoras para la superposición de los gráficos;

  2. Los mapas de transición debe ser local homeomorphisms, diffeomorphisms, ....

  3. Algunos autores agregan el axioma de que el colector debe ser Hausdorff ($T_2$) en cada gráfico, pero en muchos campos, en particular la Mentira grupos, $T_2$ es forzada por otra estructura (el grupo de leyes) así que este axioma es redundante en este caso.

La manera más fácil de hacer esto es el kit de colector de todo el mundo con una topología cuya base es el abrir establece como reckonned por sus imágenes bajo el etiquetadoras, o, escrita al revés, la base para la topología es la colección de todos los preimages de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^N$ bajo la etiquetadoras.

Espero que usted puede ver que la noción de consistencia, ya que cuenta con la superposición de gráficos, y por lo tanto la noción de la global del colector de topología, está muy ligada con el concepto físico de la covarianza de Copérnico y la noción de que el comportamiento de la Naturaleza no dependen de nuestra mera descripción de la misma.

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Robin Ekman Puntos 6938

Estrictamente hablando, si no puede ser definido mapas que cubren un conjunto (atlas), se puede dar que establezca la topología inducida por la definición de los gráficos para ser bicontinous. Es decir, un conjunto es abierto si es el dominio de un gráfico en la máxima atlas.

Si su equipo ya tiene una topología, la topología inducida por el atlas estará de acuerdo con que uno bajo ciertas condiciones. (Creo que es Haussdorff y segundo contable, pero tengo que comprobarlo.)

¿Por qué quieres un colector de una topología? Bien, quieres decir que en un conjunto lo suficientemente pequeño como para ser cubierto por un gráfico el colector se ve como el espacio Euclidiano. Pero entonces usted tiene que definir lo que "parece" que debería significar. Se homeomórficos es una opción posible. Se diffeomorphic es otra.

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