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Demuestre que lo siguiente es coprime

probar que$2a+5$ y$3a+7$ son coprime

esto es lo que he hecho hasta ahora, toda la ayuda es apreciada :)

por definición, dos números$n,m$ son coprime es su mayor divisor común$\gcd(n,m) = 1$

por lo tanto, estamos intentando mostrar que$\gcd(2a+5,3a+7)$ es coprime.

$$ \ gcd (2a +5,3a +7) = \ gcd (2a +5,3a +7- (2a +5)) = \ gcd (2a +5, a +2) = \ gcd (2a +5 -2 (a +2), a +2) = \ gcd (1, a +2) = 1 $$

¿Lo que he hecho es correcto? Gracias por la ayuda caballeros :)

1voto

David HAust Puntos 2696

Es correcto. Si conoces un poco de álgebra lineal se puede automatizar de la siguiente manera

PS

Por lo tanto, si$$\rm \begin{bmatrix} 3 & 7\\ 2 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ 1\end{bmatrix}\, =\, \begin{bmatrix} X\\ \rm Y\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \begin{bmatrix} a\\ \color{#c00}1\end{bmatrix} \, =\, \begin{bmatrix} 5 &\!\!\! -7\\ \color{#0a0}{-2} & \color{#0a0}3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\rm X\\ \rm Y\end{bmatrix}\qquad\quad $ y$\rm\ d\mid X = 3a\!+\!7,$ entonces$\rm\, d\mid Y = 2a\!+\!5\ $

Observar $\rm\ d\mid \color{#0a0}3\,Y\color{#0a0}{-2}\,X = \color{#c00}1. $ Usando exactamente el mismo método podemos probar más generalmente

Teorema $\ $ Si$ $ es lineal:$\rm\,(x,y)\overset{A}\mapsto (X,Y)\,$

El tuyo tiene$\ \rm\gcd(x,y)\mid \gcd(X,Y)\mid \Delta \gcd(x,y),\ \Delta = \det A$ por lo tanto$\,\Delta = \,3\cdot 5-7\cdot 2 = 1\,$

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