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Análogo tricolor del problema de los tríos pitagóricos booleanos

Después de haber leído acerca de la Booleano Ternas Pitagóricas Problema (ver aquí y esta pregunta), se me ocurrió que un problema relacionado con requeriría que los enteros a ser de color en tres en lugar de dos colores, con cada triple que contiene los tres colores. Formalmente, este problema es encontrar a $N$ de manera tal que el siguiente se tiene:

El conjunto {$1,\dots,N$} se puede dividir en tres partes tales que cada terna Pitagórica $a^2+b^2=c^2$ $c\leq N$ contiene un número entero de cada parte, y esto es imposible para {$1,\dots,N+1$}.

Pregunta: ¿Qué es $N$?

Este problema debe ser mucho más sencillo que el Booleano problema (porque los tres colores de la condición es más exigente, limitando las posibilidades de ser considerados), así que yo esperaba que debe haber sido resuelto hace mucho tiempo. Sin embargo, mi búsqueda en la web no he encontrado ninguna referencia al problema, así que he hecho un intento de resolver y encontrado el siguiente coloración mostrando que $N$ está a menos de 110.

3 cols pyth triples

Tenga en cuenta que el 36 y 105 son ambos de color verde, así que con esta coloración la siguiente triple (36,105,111) no cumple con el requisito. Puede ser que $N$ es de 110. Pero, evidentemente, la de arriba no es prueba de que, como no puede ser de otra coloración que funciona más allá de 110.

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JiminyCricket Puntos 143

De hecho,$N=110$. Los triples a a $111$ no puede ser de color. Estos $60$ triples están lejos de la mínima; no se $65$ subconjuntos de a $19$ de ellos que no puede ser de color. Todos estos mínima subconjuntos contener los siguientes $14$ triples:

( 5, 12, 13)
(12, 16, 20)
(13, 84, 85)
(15, 20, 25)
(16, 63, 65)
(21, 28, 35)
(25, 60, 65)
(28, 96,100)
(35, 84, 91)
(36,105,111)
(40, 75, 85)
(40, 96,104)
(60, 80,100)
(63, 84,105)

y $5$ entre los siguientes $14$ triples:

( 9, 12, 15)
( 9, 40, 41)
(12, 35, 37)
(15, 36, 39)
(20, 21, 29)
(20, 48, 52)
(21, 72, 75)
(27, 36, 45)
(36, 48, 60)
(36, 77, 85)
(39, 52, 65)
(45, 60, 75)
(60, 63, 87)
(60, 91,109)

Aquí está un ejemplo de un uncolourable subconjunto de $19$ triples:

( 5, 12, 13)
( 9, 12, 15)
(12, 16, 20)
(13, 84, 85)
(15, 20, 25)
(16, 63, 65)
(21, 28, 35)
(25, 60, 65)
(28, 96,100)
(35, 84, 91)
(36, 48, 60)
(36, 77, 85)
(36,105,111)
(40, 75, 85)
(40, 96,104)
(45, 60, 75)
(60, 80,100)
(60, 91,109)
(63, 84,105)

Estos subconjuntos son mínimos, en el sentido de que todos los subconjuntos de a $18$ de la $60$ triples hasta el $c=111$ puede ser de color. No sé si hay pequeños uncolourable conjuntos, incluyendo triples con mayor $c$.

Este es el código que he utilizado para obtener estos resultados.

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