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Maneras de hacer una serie divergen "más rápido" para mostrar la divergencia

Me interesa si hay más técnicas para hacer una serie divergen "más rápido" para mostrar que diverge. A continuación están los trucos específicos/teoremas que conozco de hacer esto.

Me recordó la lectura que la suma de los inversos de los números primos $1/2 + 1/3 + 1/5 + \ldots$ $$n ésima suma parcial creciendo como $\log \log n$, lo que me hizo pensar que sería potencialmente más fácil demostrar la divergencia tomando la exponencial de la suma para hacer divergir más rápido, y esto efectivamente puede que tenga que trabajar para obtener un muy corto de prueba:

$$e^{\sum_{n=1}^\infty 2/p_n} > \prod_{n=1}^\infty (1 + 2/p_n) > \prod_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^\infty 1/p_n^k = \sum_{n=1}^\infty 1/n = \infty$$

Del mismo modo la toma de la exponencial de la serie armónica y usando $e^x > 1 + x$ da una telescópica infinito producto cuya $$n º de producto parcial es de $n+1$, que diverge claramente.

Recuerdo también un resultado de una serie de positiva la disminución de los términos de $\sum_n a_n$ diverge si la serie $\sum_k 2^k a_{2^k}$ diverge, y esta transformación se puede hacer también una serie divergen "más rápido", por ejemplo, hace que la serie armónica aspecto $1 + 1 + 1 + \ldots$, de modo que la serie armónica diverge claramente, y hace que $\sum_{n=2}^\infty 1/n \log$ n aspecto de la serie armónica, por tanto divergentes.

O un conocido divergentes de la serie podría ser utilizado para construir un crecimiento más lento divergentes de la serie que nos pueden mostrar entonces crece el mismo o más lentamente de una serie determinada queremos mostrar divergentes. Recuerdo a un resultado que dice que si una serie de términos positivos $\sum_n a_n$ diverge, entonces $\sum_n a_n/s_n$ aparta donde $s_n = \sum_{i=1}^n a_i$. Poner todos los $a_n =1$ muestra la serie armónica diverge, y poner de $a_n = 1/n$ muestra que $\sum_{n=2}^\infty 1/n \log n$ diverge suponiendo que sabemos que la serie armónica sumas parciales crecer asintóticamente como $\log n$.

De todos modos, me preguntaba si hay otros teoremas o trucos, hay que demostrar que una serie diverge haciendo algo para hacer que las series divergen "más rápido" si la serie diverge (pero, obviamente, también deja una serie convergente todavía convergente). O algunas formas alternativas para tomar una divergente la serie y la construcción de un crecimiento más lento divergentes de la serie. E. g. en un comentario alguien señaló "de la Serie" Aceleración de los métodos diseñados para hacer una serie convergente converge más rápido; si alguien puede mostrar un ejemplo de cómo estas técnicas también se pueden utilizar para hacer un ejemplo divergentes de las series divergen más rápido para mostrar la divergencia, eso sería genial.

6voto

Jorrit Reedijk Puntos129

Aquí está una dataexample el uso de Euler-suma de negativos en lugar de positivos órdenes. He utilizado el lentamente divergentes de la serie $1+1/2+1/3+1/4+...$ y la secuencia de sumas parciales utilizando Eulersummation $ES(0)$ (direkt suma= ninguna transformación) , Eulersummation $ES(-0.5)$ que negativos en el orden y debe acelerar la divergencia y Eulersummation $ES(-0.9)$ que acelera la divergencia, pero incluso "overtunes": la hace parecer como una alternancia de serie. (Todos los cálculos basados en 32 elementos) :

  ES(0)(direct)     ES(-0.5)          ES(-0.9)
  1.00000000000  1.00000000000      1.00000000000
  1.50000000000  2.00000000000      6.00000000000
  1.83333333333  2.33333333333     -5.66666666667
  2.08333333333  2.66666666667      49.3333333333
  2.28333333333  2.86666666667     -245.666666667
  2.45000000000  3.06666666667      1526.00000000
  2.59285714286  3.20952380952     -9861.85714286
  2.71785714286  3.35238095238      67007.4285714
  2.82896825397  3.46349206349     -471076.460317
  2.92896825397  3.57460317460      3403128.53968
  3.01987734488  3.66551226551     -25125107.3694
  3.10321067821  3.75642135642      188836662.782
  3.18013375513  3.83334443334     -1440564509.14
  3.25156232656  3.91026751027      11129101675.0
  3.31822899323  3.97693417693     -86914294560.5
  3.38072899323  4.04360084360      685177450795.
  3.43955252264  4.10242437301  -5.44613935055E12
  3.49510807820  4.16124790242   4.36043950602E13
  3.54773965714  4.21387948137  -3.51381487300E14
  3.59773965714  4.26651106032   2.84800415982E15
  3.64535870476  4.31413010794  -2.32041361096E16
  3.69081325022  4.36174915556   1.89949738822E17
  3.73429151109  4.40522741643  -1.56161905953E18
  3.77595817775  4.44870567730   1.28888235269E19
  3.81595817775  4.48870567730  -1.06760841088E20
  3.85441971622  4.52870567730   8.87251757254E20
  3.89145675325  4.56574271433  -7.39618656227E21
  3.92717103897  4.60277975137   6.18296908223E22
  3.96165379759  4.63726250999  -5.18235419676E23
  3.99498713092  4.67174526861   4.35431150851E24
  4.02724519544  4.70400333313  -3.66693900482E25
  4.05849519544  4.73626139764   3.09468091836E26

Sin embargo, realmente no creo que este puede ser un general útil de la herramienta: pues también convergente la serie podría parecer divergentes por "inversa" de las transformaciones. Aquí he utilizado $1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...$

   ES(0)(direct)    ES(-0.5)          ES(-0.9)
  1.00000000000  1.00000000000      1.00000000000
  1.25000000000  1.50000000000      3.50000000000
  1.36111111111  1.44444444444     -7.88888888889
  1.42361111111  1.55555555556      57.1111111111
  1.46361111111  1.52888888889     -352.888888889
  1.49138888889  1.58000000000      2402.38888889
  1.51179705215  1.56390022676     -16936.9478458
  1.52742205215  1.59383219955      123212.235828
  1.53976773117  1.58289745528     -917619.148652
  1.54976773117  1.60275636180      6963787.31960
  1.55803219398  1.59477262837     -53665499.9384
  1.56497663842  1.60900149714      418884302.009
  1.57089379818  1.60287884486     -3305102741.43
  1.57599583900  1.61362133802      26320630606.8
  1.58044028344  1.60875562173     -211296315925.
  1.58434653344  1.61717979015   1.70819287210E12
  1.58780674106  1.61320690798  -1.38954751976E13
  1.59089316081  1.62000633266   1.13658899049E14
  1.59366324391  1.61669272000  -9.34278213695E14
  1.59616324391  1.62230655034   7.71398168189E15
  1.59843081761  1.61949494420  -6.39481412903E16
  1.60049693331  1.62421545194   5.32067131888E17
  1.60238729248  1.62179578230  -4.44177875633E18
  1.60412340359  1.62582540701   3.71945515959E19
  1.60572340359  1.62371815228  -3.12340250305E20
  1.60720269353  1.62720177203   2.62971858850E21
  1.60857443564  1.62534794030  -2.21942324134E22
  1.60984994585  1.62839210680   1.87735425152E23
  1.61103900649  1.62674694346  -1.59133257136E24
  1.61215011760  1.62943185453   1.35152568303E25
  1.61319070033  1.62796074625  -1.14995824956E26
  1.61416726283  1.63034797478   9.80133223927E26

Con $ES(-0.5)$ obtenemos una secuencia que se queda alrededor de, al menos, en la cerca de la conocida resultado - pero ¿quién iba a pronosticar que este extrapola en realidad a un cierto límite. Y la secuencia de sumas parciales de la $ES(-0.9)$-aceleración se ve, sin duda, divergente...

Así que creo que con las herramientas estándar para la aceleración/divergentes suma tomarse sólo en una, obviamente,/ingenuamente invertida de manera que todavía no son realmente tener éxito/procedimiento en la dirección deseada...

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