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¿Por qué es$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+7x+5$ irreducible sobre$\mathbb{Q}[x]$?

Me dan el polinomio

$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+7x+5$,

y deberá mostrar que es irreductible sobre$\mathbb{Q}[x]$. Lo único que hemos introducido hasta ahora es el criterio de Eisenstein, y casi funcionaría aquí. Entonces, ¿hay algún truco que se pueda hacer en el coeficiente$7x$ para aplicar el criterio de Eisenstein, o necesitamos algo más aquí?

8voto

Xenph Yan Puntos 20883

Dejando que tu polinomio sea$$p(x)=x^5 + 5 x^4 + 10 x^3 + 10 x^2 + 7 x + 5,$ $ echa un vistazo a$p(x-1)$ y aplica Eisenstein allí. Luego demuestre que$p(x)$ es irreducible si y solo si$p(x-1)$ es.

5voto

Ramiro Algozino Puntos 21
Observar que .

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