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triples/ ternas pitagóricos/as

Entonces, me dan ese$65 = 1^2 + 8^2 = 7^2 + 4^2$, ¿cómo puedo usar esta observación para encontrar dos triángulos pitagóricos con hipotenusa de 65?

Sé que necesito encontrar los enteros$a$ y$b$ tal que$a^2 + b^2 = 65^2$, pero no entiendo cómo derivarlos de esa observación.

Aquí está mi intento.

$65^2 = (8^2+1^2)(7^2+4^2) = 8^27^2 + 1^24^2 + 1^27^2 + 8^24^2 = (8\cdot7)^2 + 4^2 + 7^2 + (8\cdot4)^2$ pero ahora estoy atascado aquí, cualquier sugerencia!

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Oli Puntos 89

El uso de la Brahmagupta-Fibonacci Identidad $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$ Esta identidad puede ser verificado por la multiplicación de cada lado, y en la mejor de las maneras.

A partir de la Identidad, obtenemos $$65^2=(8^2+1^2)(7^2+4^2)=(8\cdot 7-1\cdot 4)^2 +(8\cdot 4+1\cdot 7)^2.$$

Podemos obtener otra representación de $65^2$ como la suma de dos cuadrados, dejando $c=4$$d=7$.

Comentario: La Identidad da a la utilidad resultado de que el producto de dos números, cada uno la suma de dos cuadrados, es en sí mismo la suma de dos cuadrados.

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Lissome Puntos 31

Sugerencia Si$m,n$ son enteros, entonces$(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ es un triple de Pytagorean.

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jonathan hall Puntos 307

Como dije, necesitamos resolver un sistema de ecuaciones.

El sistema de ecuaciones:

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las soluciones tienen la forma:$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=z^2\\&q^2+t^2=z^2\end{aligned}\right.$$$x=4p^4-s^4$$ $$y=4p^2s^2$$ $$q=4ps(2p^2-s^2)$$ $$t=4p^4-8p^2s^2+s^4$$ $PS

$z=4p^4+s^4$ - enteros.

Fórmulas que puedes escribir mucho, pero estarás limitado a esto. Hará un reemplazo.

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La solución entonces es.

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