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Obstrucciones a descender Galois invariante ciclos

Deje $X$ ser un suave proyectiva variedad de más de $F$, e $E/F$ - finita de Galois de la extensión. Hay una extensión de escalares mapa de $CH^\*(X) \to CH^\*(X_E)$. La imagen de tierras en el Galois invariante parte de $CH^\*(X_E)$, y en el caso de los coeficientes racionales, todos Galois-invariante de los ciclos en la imagen (EDIT: esta es la consecuencia de tomar la traza argumento).

Con el entero coeficientes de Galois-invariante de clases no tiene que descender. Por ejemplo, para $CH^1(X) = Pic(X)$ hay una secuencia exacta: $$ 0 \Pic(X) \Pic(X_E)^{Gal(E/F)} \Fr(F), $$ así que podemos decir que la obstrucción a descender un ciclo se encuentra en un grupo de Brauer.

¿Se conocen las obstrucciones a descender elementos de los mayores grupos de $CH^i$ con coeficientes enteros?

En mi caso tengo un ciclo en $CH^*(X_E)^{Gal(E/F)}$ y quiero averiguar si es o no procedente de $CH^*(X)$.

(El ciclo se describe en aquí.)

11voto

sorin Puntos 145

Mantengamos las notaciones de arriba, y vamos a escribir $G:=\mathrm{Gal}(E/F)$. Déjeme rápidamente recordar el origen de la Brauer obstrucción: en realidad viene de la Hochschild-Serre espectral de la secuencia

$$H^p(G,E^q(X_E,\mathbf{G}_m))\Longrightarrow E^{p+q}(X,\mathbf{G}_m)$$

(Estoy escribiendo $E^{\ast}=H^{\ast}_{\mathrm{et}}$ para étale cohomology aquí, porque el sistema no parece gustarle demasiado muchos de los subíndices.) Si analizamos esto en bajos grados, esto nos da la siguiente clásica secuencia exacta (para cualquier $F$-variedad de $X$):

$$0\to H^1(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\mathrm{Pic}(X)\to H^0(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^2(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\ker\left[\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(X_E)\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^3(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))$$

Por eso nos gustaría generalizar la secuencia anterior a la situación de $\mathrm{CH}^n(X)=H^n(X,\mathcal{K}_n)$ (donde $\mathcal{K}_n$ es el Zariski-sheafification de la presheaf $K_n$). Suponga $X$ geométricamente regular aquí. El Gersten resolución de $\mathcal{K}_n$ $X_E$ es el complejo

$$C^{\bullet}(X_E)\colon\quad K_nk(X_E)\to\bigoplus_{x\in X_E^1}K_{n-1}k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^2}K_{n-2}k(x)\to\cdots\to\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)$$

Hay un complejo similar a $C^{\bullet}(X)$ dando la Gersten resolución de $\mathcal{K}_n$$X$. Consideramos que el complejo de $C^{\bullet}(X_E)$ $G$- complejo; escribir $\sigma$ para el mapa

$$C^{n-1}(X_E)=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}k(x)^{\times}=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)=Z^n(X_E)$$

de $G$-módulos. Quiero argumentar que el núcleo de este mapa está jugando el papel de $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$ superior $n$. (Al $n=1$, este núcleo coincide con $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$.)

Ahora podemos esperar de una secuencia espectral

$$H^p(G,H^q(C^{\bullet}(X_E)[n]))\Longrightarrow H^{p+q}(C^{\bullet}(X)[n])$$

pero, por supuesto, $K$- teoría no acaba de satisfacer Galois de descenso, por lo que no tenemos esta convergencia ($C^{\bullet}(X)[n]$ no es el homotopy de punto fijo complejo de $C^{\bullet}(X_E)[n]$). Pero sólo estamos tratando de analizar una pieza muy pequeña de este espectro de la secuencia de la pieza que implican $\sigma$. Para que, de Hilbert Teorema de 90 hace el trabajo, y se obtiene el siguiente secuencia exacta:

$$0\to H^1(G,\ker\sigma)\to\mathrm{CH}^n(X)\to H^0(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^2(G,\ker\sigma)\to\ker\left[H^2\left(G,C^{n-1}(X_E)\right)\to H^2(G,Z^n(X_E))\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^3(G,\ker\sigma)$$

Así nos encontramos con una obstrucción a descendente ciclos de codimension $n$$H^2(G,\ker\sigma)$. Es este el tipo de cosas que tenía en mente?

6voto

Queridos Evgeny Shinder,

Para CH^2(X) se puede encontrar una "obstrucción" en un no-se ramifica a cohomology.

Vamos a escribir H^i_nr(X, \mu_l^j) para la intersección de los núcleos de los residu mapas d_A en Galois cohomology, donde Una se ejecuta sobre todos los discreta valoración de los anillos con el campo de las fracciones F(X) que contiene F. Por ejemplo, si X es regular, se debe tener en cuenta todas las valoraciones procedentes de codimension uno de los puntos, pero también las valoraciones procedentes de excepcional divisores de diversos soplado-ups.

Si X es un buen geométricamente variedad racional definida sobre un campo finito F (es decir, racional sobre algebraica de cierre \bar F de F), se puede demostrar que la cokernel del mapa CH^2(X)->CH^2(X_{\bar F})^G es isomorfo, hasta p-torsión (p=char F), para el grupo de no ramificado cohomology H^3_nr(X, P/Z(2)). También se pueden encontrar ejemplos de este último grupo es distinto de cero (ver http://arxiv.org/abs/1004.1897).

Es útil para usted?

Saludos cordiales,

Alena Pirutka.

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