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Contables subgrupos de grupos compactos

Lo que se sabe acerca contables subgrupos de grupos compactos? Más precisamente, lo contables de los grupos puede ser embebido en grupos compactos (me refiero sólo un inyectiva homomorphism, no creo que cualquier topología de los contables de grupo)? En particular, se puede incrustar S_\infty^{aleta} (el grupo de permutaciones con finito de apoyo) en un grupo compacto? Cualquier simples ejemplos de una contables grupo que no puede ser integrado en un grupo compacto?

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csmba Puntos 2440

Sus preguntas están relacionadas con Bohr compactification, a la izquierda adjunto a la inclusión de compacto (= compacto de Hausdorff) grupos en todos los grupos topológicos. Un grupo discreto G puede estar integrado en un grupo compacto en el fib natural mapa de la G a su Bohr compactification es una inyección. Estos grupos son llamados "máximamente casi periódicos". Echa un vistazo a este artículo para un análisis más en profundidad del tratamiento. Un ejemplo de que el papel de una contables del grupo, que no puede ser embebido en un compacto grupo SL(n, K) para n ≥ 2 y K un infinito contable de campo.

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Alain Valette Puntos 7870

Como complemento a Reid respuesta: un finitely generado grupo está en su máximo de casi periódica si y sólo si es residual finito. En efecto, si un grupo es residual finito, se incrusta en su profinite de finalización, que es compacto. Por el contrario, si un finitely generado grupo $G$ incrusta en un grupo compacto $K$, a continuación, utilizando primero que homomorphisms $K\rightarrow U(n)$ puntos separados de $K$, la segunda que finitely generado lineal grupos residual finito (Mal'cev teorema), llegamos a la conclusión de que $G$ es residual finito.

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Steve Baker Puntos 2220

Por el camino, $A_\omega ^{fin}$ (grupo de incluso permutación de contables conjunto) no puede ser embebido en grupo compacto (por lo tanto, $S_\omega^{fin}$ también no se puede).

Prueba(por contradicción):

Es bien conocido (prueba utiliza la teoría de las representaciones) que cada grupo compacto es isomorfo a un subgrupo del producto cartesiano de los unitaria de los grupos, WLOG podemos suponer que la $A_\omega^{fin}$ está incrustado en $\prod U({n_i})$. Ahora vamos a $f_i$ ser un homomorphism $f:A_\omega^{fin} \rightarrow U({n_i})$ tal que $\prod f_i$ es una incrustación en $\prod U({n_i})$. Obviamente Ker $f_i$ no puede ser trivial para todo i, entonces para algunos i $Ker(f_i) \neq A_\omega^{fin}$ , pero desde $A_\omega^{fin}$ simple $Ker (f_i) =(0)$ $f_i$ es inyectiva.

Así, hemos demostrado que si un simple grupo puede estar integrado en el grupo compacto que puede ser incrustado en $U(n)$ para algunos n.

Ahora, es fácil terminar la prueba (hay mucho de los métodos, en realidad). Por ejemplo, observe que existen infinitos pares de desplazamientos de los diferentes elementos en $A_\omega^{fin}$ tal que $x^2 = e $, pero sólo hay un número finito de estos elementos en $U(n)$.

Espero que esto ayude.

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