Ratios como fracciones

Question

Tengo problemas para entender cómo se relacionan las fracciones con los cocientes. Una proporción como 3:5 no está directamente relacionada con la fracción 3/5, ¿verdad? Veo cómo ese cociente podría expresarse en términos de las dos fracciones 3/8 y 5/8, pero 3/5 no parece relacionarse (o ser útil) cuando se considera un cociente de 3:5.

Muchos libros de texto que he visto, al introducir el tema de las proporciones, dicen algo parecido a "3:5 se puede expresar de muchas maneras, se puede expresar directamente en palabras como '3 partes a 5 partes', o se puede expresar como una fracción 3/5, o puede ser " y así sucesivamente. Algunos libros de texto aclaran que 3/5, cuando se utiliza de esta forma, no es "realmente" una fracción, sino que sólo representa un cociente. Para mí, esto no tiene ningún sentido. ¿Por qué expresar 3:5 como 3/5?

Answer 1

La notación $a:b$ hace hincapié en un relación relativa entre $a$ et $b$ y la notación $\frac{a}{b}$ hace hincapié en un operación sobre dos elementos $a$ et $b$ .

Pero, en última instancia, los dos símbolos representan lo mismo (al menos, cuando se utilizan números enteros): un tamaño relativo entre $a$ et $b$ . Si piensas detenidamente en lo que significa que dos proporciones sean equivalentes, verás que la definición de igualdad de $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ es que los ratios $a:b$ et $c:d$ son iguales.

En realidad, creo que he visto carteles de ciertos países utilizar " $:$ " para la división, para confusión del resto de nosotros.

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Una diferencia entre estas dos notaciones es que puedes enlazar muchas relaciones a la vez de esta forma: $1:2:4:7$ . Esto expresa un montón de proporciones a la vez: $1:2$ , $2:4$ , $4:7$ , $1:4$ , $2:7$ etc. Si se tratara de proporciones de ingredientes en alguna receta de mezcla, entonces podría aumentar y disminuir el tamaño de su receta a su antojo utilizando esta notación.

Pero esto no se traslada a la notación de barra oblicua, lo que resulta problemático si se piensa en la barra oblicua como una operación.

Esto es un poco exagerado, pero una forma de verlo es que $a:b$ es algo así como "una operación de división que estás posponiendo". Por eso se pueden apilar porque no se pretende realizar ninguna operación. (Si se utilizaran barras inclinadas, el impulso sería realizar las operaciones hasta obtener una única fracción, pero esto requeriría paréntesis para que la expresión no fuera ambigua).

Answer 2

En general, yo no compararía los cocientes con las fracciones, porque son cosas distintas. Como rschwieb mencionado en los comentarios: cuando se tiene manzanas, limones et naranjas se puede decir que la relación es $3:4:5$ . El único "enlace" a las fracciones es que ahora puedes decir que esto es lo mismo que decir que el cociente es $\frac35:\frac45:1$ . De lo que se desprende fácilmente que hay $\frac35$ tanto manzanas ya que hay naranjas . Verá, la fracción se utiliza para expresar una relación entre dos "elementos" de su conjunto lo que sea .

La clave está en esto: cuando tienes un cuenco con $3$ naranjas et $5$ manzanas la relación $3:5$ le da la relación entre la cantidad de naranjas y la cantidad de manzanas . Y también el número $\frac35$ en este contexto. La confusión surge del hecho de que estamos entrenados para concluir inmediatamente que una fracción, siempre te da una relación entre todo de algo y a parte de todo . Pero no siempre es así, como puede verse en la historia de la relación.

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N.B. Me gustaría añadir que personalmente creo que alguien o algún método que esté enseñando matemáticas debería evitar la comparación de proporciones con fracciones, porque generalmente lleva a la confusión como le ocurrió al OP. Es muy probable que alguien que esté aprendiendo proporciones no esté preparado para enfrentarse a una diferencia tan sutil, aunque importante, en la aplicación de las fracciones.

Answer 3

"¿Por qué expresar 3:5 como 3/5?"

Hay una forma en que 3/5 puede ser una representación útil de la proporción 3:5, como se describe en este extracto de wikipedia (he añadido las negritas):

"Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción entre naranjas y manzanas es 2:3, y la proporción entre naranjas y el número total de piezas de fruta es 2:5". Estas proporciones también pueden expresarse en forma de fracción: hay 2/3 de naranjas que de manzanas y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si el zumo de naranja concentrado se va a diluir con agua en la proporción 1:4, entonces se mezcla una parte de concentrado con cuatro partes de agua, lo que da cinco partes en total; la cantidad de zumo de naranja concentrado es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de zumo de naranja concentrado es 1/5 del líquido total. Tanto en las proporciones como en las fracciones, es importante tener claro qué se compara con qué, y los principiantes suelen cometer errores por este motivo."

Creo que he caído en esa categoría de errores de principiante. Mientras esté claro qué se compara con qué, representar una proporción de 3:5 como una fracción (3/5), puede tener sentido y ser útil. Estaba llegando a la conclusión de que una fracción siempre compara el "número de partes" con el "número total de partes que forman un todo". También puedes tener una fracción que compare directamente "número de partes del tipo A" con "número de partes del tipo B".

Por ejemplo, digamos que le dicen que hay 12 manzanas en un cubo (que contiene tanto manzanas como naranjas). También se le dice que la proporción entre naranjas y manzanas es de 1:6. Se le pregunta: "¿cuántas naranjas debe haber en este cubo? Se te pregunta: "¿cuántas naranjas debe haber en esta papelera?". Puedes encontrar la respuesta convirtiendo la proporción en una fracción, 1/6. Puedes entender esta fracción como, "en este cubo hay 1/6 de naranjas que de manzanas". Así que haciendo cuentas, 12 * 1/6 = 2. Tiene que haber 2 naranjas en el cubo.