4 votos

(a) Suponer eso . Demostrar eso .

<blockquote> <p>Mostrar que %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Gracias a <a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Evaluating_improper_integrals" rel="nofollow">wikipedia</a> sé que</p> <p>%#% $ De #% estoy teniendo un tiempo difícil entender el salto entre la igualdad con el signo de interrogación sobre la misma.</p>

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Ron Gordon Puntos 96158
<p>Escribir</p> <p>$$\frac1{t} = \int_0^{\infty} dp \, e^{-p t}$$</p> <p>Entonces la integral es</p> <p>$$\begin{align}\int_0^{\infty} dt \, \frac{\cos{a t}-\cos{b t}}{t} &= \int_0^{\infty} dt \, (\cos{a t} - \cos{b t})\int_0^{\infty} dp \, e^{-p t} \\ &= \int_0^{\infty} dp \, \left (\int_0^{\infty} dt \, \cos{a t} \, e^{- p t} - \int_0^{\infty} dt \, \cos{b t} \, e^{- p t}\right ) \\ &= \int_0^{\infty} dp \, \left (\frac{p}{p^2+a^2} - \frac{p}{p^2+b^2} \right ) \end{align} $$</p> <p>Parece que tienes el resto. Tenga en cuenta que, en la segunda línea, podemos invertir el orden de integración porque las integrales involucradas son convergentes. También tenga en cuenta que, en la tercera línea, como señala @DrMV, las expresiones son transformadas de Laplace de las funciones de coseno correspondiente.</p>

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<blockquote> <p>¿Has oído hablar <a href="http://mathworld.wolfram.com/FrullanisIntegral.html" rel="nofollow">integrales de Frullani</a>? De lo contrario se puede ver <a href="http://math.stackexchange.com/questions/552384/proving-of-integral-int-0-infty-frace-bx-e-axxdx-ln-left-fr">aquí</a> por diferentes técnicas.</p> </blockquote>

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