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¿Cuál es la métrica de la Norma de No-Tiempo-Orientable espacio-Tiempo

Si has leído en cualquier espacio-tiempo de la topología, usted sabe que el espacio-tiempo. Es increíble rotación de lightcone identificados después de la mitad de un giro. Y fuera de De Sitter espacio con algunas identificaciones, es el único no-tiempo-orientable espacio-tiempo que se ha descrito nunca.

Por ejemplo, aquí está en Wald :

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Y aquí es en Sánchez :

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Sin embargo, nunca explícitamente descrito. Obviamente de topología $\Bbb R \times S$, pero más allá de eso es una incógnita lo que la métrica es en realidad.

Sánchez, de hecho casi le da a la métrica, dándonos escalar productos :

$$X_1 = \cos(\pi x) \partial_x + \sin(\pi x) \partial t$$ $$X_2 = -\sin(\pi x) \partial_x + \cos(\pi x) \partial t$$ $$g(X_1, X_2) = -1$$ $$g(X_1, X_1) = g(X_2, X_2) = 0$$

Lo que significa que

$$-\sin(\pi x)\cos(\pi x)g_{xx} + \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$\cos^2(\pi x) g_{xx} + \sin^2(\pi x) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$\sin^2(\pi x) g_{xx} + \cos^2(\pi x) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Sumando los dos últimos, esto nos da

$$g_{xx} = -g_{tt}$$

Así

$$2 \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$(-\cos^2(\pi x) +\sin^2(\pi x)) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$(-\sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x)) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Como el lightcone, y por lo tanto la dirección de el tiempo y el espacio, girando, mi instinto me dice que me ponga a $g_{tt} = \cos(\pi x)$. El determinante de la métrica luego ser $\cos^2(\pi x) - g_{tx}^2$. Para mantener la firma, esto significa $\cos^2(\pi x) < g_{tx}^2$. Si uso que ansatz,

$$g_{tx} = -2 \frac{\sin(\pi x)\cos(\pi x)^2 + 1}{(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) }$$

$$g_{tx} = \frac{( \cos^2(\pi x)-\sin^2(\pi x) ) }{2 \sin(\pi x)}$$

Un rápido punteo me dice que esas no son las mismas funciones. Cualquier idea de lo que el real métrica sería?

3voto

Thelema Puntos 2697

Usted puede obtener la respuesta muy rápidamente por la primera solución para $\partial_x$ $\partial_t$ en términos de$X_1$$X_2$. Para facilitar la notación, vamos a $c = \cos\pi x$$s= \sin\pi x$. Es fácil reconocer la relación entre los dos pares de vectores como una rotación, así que usted puede simplemente escribir la inversa, $$ \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c&-s\\s&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1\\X_2\end{pmatrix}. $$

Ahora simplemente podemos calcular las componentes de la métrica: $$ g_{xx} = g(\partial_x,\partial_x) = g(c X_1-s X_2, c X_1-s X_2) = -2 cs g(X_1,X_2) = 2cs. $$ Aquí hemos utilizado que $g(X_1,X_1) = g(X_2,X_2)=0$, $g(X_1,X_2) = -1$.

Los otros componentes de seguir en el mismo camino $$ g_{xt} = g(cX_1-sX_2,sX_1+cX_2) = s^2-c^2 \\ g_{tt} = g(sX_1+cX_2,sX_1+cX_2) = -2sc. $$

-2voto

SBWorks Puntos 245

No utilice sus instintos. Para una fija $x$ tenemos un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolver.

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