Fracciones de Sobolev integración en $L^\infty$

Question

Hay $t\in(0,1)$, $p\in[1,\infty)$ tal que $W^{t,p}(\mathbb{R})$ es continuamente incrustado en $L^\infty(\mathbb{R})$? He estado mirando varias literaturas, pero todavía no la he encontrado esto. También, no estoy familiarizado con las pruebas para los espacios de Sobolev. ¿Alguien puede dar una referencia sobre si se puede o no se puede hacer? Gracias.

Answer 1

El caso de $\,p=2\,$ $\,s>\frac{1}{2}\,$ es bastante trivial: $$\max_{\mathbb{R}}|u(x)|\leqslant\frac{1}{2\pi}\!\cdot\!\!\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{u}(\xi)|\,d\xi \leqslant\frac{1}{2\pi}\!\cdot\!\!\biggl(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\xi}{(1+{\xi}^2)^s}\,\biggr)^{1/2}\!\!\!\cdot\!\biggl(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(1+{\xi}^2)^s|\hat{u}(\xi)|^2 d\xi\biggr)^{1/2},$$ donde $\,\hat{u}\,$ denota la transformada de Fourier de $u$. De ahí sigue la necesaria estimación de $$ \max_{x\in\mathbb{R}}|u(x)|\leqslant C\|u\|_{H^s(\mathbb{R})}\,.$$

El caso de $\,p\in(1,2)\,$ $\,s>\frac{1}{p}\,$ es ligeramente menos trivial: $$\max_{\mathbb{R}}|u(x)|\leqslant\frac{1}{2\pi}\!\cdot\!\!\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{u}(\xi)|\,d\xi \leqslant\frac{1}{2\pi}\!\cdot\!\!\biggl(\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\xi}{(1+{\xi}^2)^{\frac{sp}{2}}}\,\biggr)^{1/2}\!\!\!\cdot\!\biggl(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\bigl|(1+{\xi}^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr|^{p'} d\xi\biggr)^{1/2}$$ with the Hölder conjugate $p'=p/(p-1)$. La aplicación de la Hausdorff-Jóvenes de la desigualdad $$\bigl\|(1+{\xi}^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} \leqslant C\bigl\|F^{-1}\bigl[(1+{\xi}^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr]\bigr\|_{L^{p} (\mathbb{R})}\,,$$ observe que para una función de $u$, la inversa de la transformada de Fourier $F^{-1}\bigl[(1+{\xi}^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr]$ coincide con su potencial de Bessel de orden $-s$. De ahí sigue la necesaria estimación $$ \max_{x\in\mathbb{R}}|u(x)|\leqslant C\|u\|_{W^{s,p}(\mathbb{R})}\,.$$

El caso de $p\in(2,\infty)$ es un poco complicado, pero sólo un poco. El último caso generalmente requiere de algunos adecuada representación integral de una función $u\W^{s,p} (\mathbb{R})$, thus making it possible to merge all cases into one: $p\en(1,\infty)$ con $\,s>\frac{1}{p}\,$. Bajo las circunstancias, lo más apropiado será una representación en términos de la Bessel potenciales. Esto es debido a la definición de $u\in W^{s,p}(\mathbb{R})$ que puede ser formulado para cubrir todos los valores reales de $s\in\mathbb{R}$. Por lo general, más útil es la de definir $u\in W^{s,p}(\mathbb{R})$ como un subespacio del espacio de Schwartz templado distribuciones $$W^{s,p}(\mathbb{R})\desbordado{def}{=}\bigl\{u\S'(\mathbb{R})\,\colon\, \hat{u}\en L^1_{col}(\mathbb{R}),\;F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr]\en L^p(\mathbb{R})\bigr\},$$ donde $F^{-1}$ denota la inversa de la transformada de Fourier $F\colon\, S'(\mathbb{R})\to S'(\mathbb{R})$. El potencial de Bessel $B_{\mu}\colon\, S'(\mathbb{R})\to S'(\mathbb{R})$ es generalmente definido como un operador lineal $$B_{\mu}(v)=F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{-\frac{\mu}{2}}\hat{v}(\xi)\bigr], \quad \mu\in \mathbb{R}. $$ El espacio de $W^{s,p}(\mathbb{R})$ es a menudo llamado un espacio de la Bessel potenciales con densidades en $L^p(\mathbb{R})$. Para encontrar la deseada representación adecuada para una función $u\in W^{s,p}(\mathbb{R})$, aviso que $$ \hat{u}(\xi)=\frac{\hat{u}(\xi)}{1+|\xi|^2}+\frac{\xi^2}{(1+|\xi|^2)^{1+\frac{s}{2}}}\!\cdot\!{(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}}\hat{u}(\xi),\quad s\in \mathbb{R}, $$ lo que implica que $$u(x)=B_2(u)-\frac{d^2\,}{dx^2}B_{2+s}\Bigl(F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)\bigr]\Bigr),\quad s\in \mathbb{R}. $$ Más importante es el hecho de que para $\mu>0$, el de Bessel potencial se convierte en un operador integral $$ B_{\mu}(v)=\!\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!G_{\mu}(x-y)v(y)\,dy $$ con muy buen kernel de la función de $$G_{\mu}(x)\overset{def}{=}F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{-\frac{\mu}{2}}\bigr], $$ una simple representación de lo que es paso a paso explícitamente construido en las páginas 131-132 de las Integrales Singulares y la diferenciabilidad de las Propiedades de las Funciones por parte de la E. M. Stein (Princeton, 1970). Utilizando esta representación fácilmente se puede comprobar que $\, G_{\mu}\in L^r(\mathbb{R}\,) $ si $\,\mu>\frac{1}{r'}\,$ $\,r'=r/(r-1)\,$ la Hölder conjugado de a $\,r\in [1,\infty)$, mientras que $\, G"_{\mu}\en L^r(\mathbb{R})\,$ if $\,\mu>2+\frac{1}{r'}\,$ with the same Hölder conjugate to $\,r\in [1,\infty)$ . Por lo tanto, por Hölder la desigualdad sigue la estimación $$\max_{x\in\mathbb{R}}|u(x)| \leqslant \|G_2\|_{L^{p'}(\mathbb{R})}\!\!\times\!\|u\|_{L^{p}(\mathbb{R})}+\|G''_{2+s}\|_{L^{p'}(\mathbb{R})}\!\!\times\!\|u\|_{W^{s,p}(\mathbb{R})}\leqslant C\|u\|_{W^{s,p}(\mathbb{R})}$$ siempre que $p\in (1,\infty)$$s>\frac{1}{p}\,$.