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¿Cuándo $(ab)^n = a^n b^n$ implica un grupo abelian?

Supongamos que la identidad de $(ab)^n = a^n b^n$ mantiene en un grupo para algunos $n\in\mathbb{Z}$. Para que $n$ hace esto implica, necesariamente, el grupo abelian? Por ejemplo, cuando se $n=-1$ o $n=2$, el grupo debe ser abelian. ¿Hay algún otro tipo de $n$, o podemos construir un no-grupo abelian con esta propiedad para todos los $n\neq -1, 2$?

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Lijo Puntos 118

Deje $n$ ser tal que $n \neq \pm 1$, $n \neq 2$ (el caso de $n=1$ es trivial, $-1$ $2$ implica que el grupo abelian).

  • Si $n$ es una potencia de $2$ (mayor que $2$ en valor absoluto), entonces vamos a $G = \mathbb{H}$ser el grupo de cuaterniones. Es nonabelian y ha exponente $4$ (el que divide $n$), así que para todos $a,b$, $(ab)^n = e = ee = a^n b^n$.

  • Si $n$ no es una potencia de $2$, luego deje $p > 2$ ser un número primo dividiendo $n$, decir $n = pk$. Deje $G$ ser el grupo descrito en esta pregunta: es una nonabelian grupo que ha exponente $p$. A continuación, para todos $a,b \in G$, $(ab)^n = ((ab)^p)^k = e = (a^p)^k (b^p)^k = a^n b^n$.

  • Si $n=-2$, vamos a $G$ ser el nonabelian grupo de exponente $3$ que hemos utilizado antes. A continuación,$\forall a \in G, a^{-2} = a$, a partir de la cual la identidad de la siguiente manera. (Gracias a Mikko Korhonen por señalar el error en la primera versión de esta respuesta).

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Rob Puntos 123

Para cualquier no-grupo abelian $\;G\;$ de exponente $\;n\;$ tenemos que $\;1=(ab)^n=a^nb^n\;$ , lo que para cualquier natural $\;n\;$ para las que existe al menos una que no abelian grupo con exponente que tenemos un contraejemplo.

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FuzzyQ Puntos 200

Tenga en cuenta que si $G$ es un grupo con exponente dividiendo $n-1$ o $n$, $(xy)^n = x^n y^n$ todos los $x, y \in G$.

Supongamos que $n \neq -1, 2$. Por encima de lo que sería suficiente para demostrar que en este caso podemos encontrar una nonabelian grupo con exponente dividiendo $n-1$ o $n$. Por la presunción de cualquiera de las $n-1$ o $n$ tiene un divisor primo impar $p$, por lo que podríamos utilizar por ejemplo el grupo de Heisenberg de la orden de $p^3$, lo que ha exponente $p$.

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