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¿Por qué es esto permitido? ("De Fourier Truco", la búsqueda de los coeficientes en una Serie de Fourier)

En mi libro de texto (Introducción a la Electrodinámica, D. Griffiths), que se derivan de la ecuación por alguna extraña de la función potencial. Finalmente, llegamos a este (por $n \in \mathbb{Z}^+$):

$$ V_0(y) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n\sin{\frac{n\pi}{a}y} \tag{3.31}$$

Aquí es donde las cosas van mal para mí.

... żcómo se determinan los coeficientes de $C_n$, enterrado como en la infinidad de suma? El dispositivo para llevar a cabo esto es tan bonito que merece un nombre-me llamo Fourier truco, aunque parece que Euler había utilizado esencialmente la misma idea un poco antes. Aquí es cómo va: Multiplicar Eq. 3.31 $\sin{n'\pi y/a}$ (donde $n'$ es un entero positivo), y la integración de 0 a:

$$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} C_n \int_0^a\sin{\frac{n\pi}{a}y} \sin{\frac{n'\pi}{a}y} dy ~~~=~~~ \int_0^a V_0(y)\sin{\frac{n'\pi}{a}y} dy$$

La respuesta es comprensible que sale algo muy bonito y práctico. Pero... ¿por qué es esto algo que usted puede hacer? No hay ninguna razón obvia de por qué eso no intrínsecamente cambiar el problema (de la misma manera que yo pueda decir "Multiplicar ambos lados por $0$. Se ha reducido el problema a cero. ¡Bien hecho!)

(Mientras se escribe el anterior, sospecho que tiene algo que ver con el interior del producto de una función y una base ortonormales? El infinito $\sin$ funciones de crear una base ortonormales, y teniendo que la integral sobre todos los valores posibles de manera efectiva los extractos de los coeficientes para cada función de base. Cuando se sugiere que se multiplica por $\sin{\frac{n'\pi}{a}y}$ e integrar, esto no cambia la base de todo, es sólo (sneakily) la extracción de los coeficientes, que sólo existe cuando se $n = n'$ (debido a que el $\sin$ funciones son todos los ortogonal). Es como tomar los coeficientes de una base con sí mismo... ¿verdad?

Creo que esto puede ser uno de esos casos en los que, en el proceso de hacer la pregunta, me imagino la respuesta, pero todo esto es bastante nuevo para mí, y me gustaría preguntar de todos modos para la confirmación y, posiblemente, una explicación más clara).

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littleO Puntos 12894

Puede ayudar a romper este en pasos más pequeños.

\begin{align*} &V_0(y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right) \\ \implies & V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right)\sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \\ \implies & \int_0^a V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \int_0^a \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right)\sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy = \frac{a}{2} C_{n'}. \end{align*}

Ahora resolvemos para $C_{n'}$ obtener \begin{equation*} C_{n'} = \frac{2}{a} \int_0^a V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy. \end{ecuación*}

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Thomas Puntos 6040

Su sospecha sobre el producto interior es completamente correcto. El trigonometic polinomios $\{\sin(nx), \cos(mx)\}$ (posiblemente traducida y escalada) se sabe que forman un sistema ortogonal con respecto al producto escalar dado por $\langle f, g\rangle:=\int fg$, y si se elige la función de espacio correctamente (usualmente se utiliza un espacio que se llama $L^2$) y utilizar correctamente elegido la aportación de los factores, entonces se puede demostrar que actally forma completa ortonormales sistema de $e_k$, lo que simplemente significa que usted puede expresar cualquier función en ese espacio como $$ f = \sum_k\langle f, e_k \rangle e_k$$ (donde la convergencia se entiende que el espacio respecto de la norma derivada del producto escalar). Los coeficientes de esta suma son lo que usted está buscando. Usted puede saber que tipo de representación de lo finito dimensional caso.

Yo deliberadamente no especificar las constantes que hacen que el sistema ortogonal ortonormales, ni un intervalo de su dominio de definición de la traducción y la escala se puede hacer algo como eso en cualquier intervalo acotado en $\mathbb{R}$ también Hay un complejo versión de este, en cuyo caso se podría utilizar el producto escalar $\int f\bar{g}$, e $\{e^{ikx}\}$ ortogonal del sistema.

Si usted desea ver los detalles, a continuación, la mayoría de las introducciones de los análisis real tendrá una sección sobre el tema. Rudin libros, por ejemplo explicar esto.

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