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No entiendo la relación entre los diferenciales de formas diferenciales y el exterior de los derivados.

No entiendo la relación entre los diferenciales de formas diferenciales y el exterior de los derivados. (Demasiados $d$'s me!) Aquí están las pertinentes (parcial) de las definiciones de la Wikipedia; esencialmente las mismas definiciones/terminología/anotaciones se encuentran en mis notas.

  1. Pushforward. Deje $\varphi : M → N$ ser suave, un mapa de suave colectores. Dado que algunos $x \in M$, el diferencial de $\varphi$ $x$ es lineal en el mapa de $d\varphi_x : T_x M \rightarrow T_{f(x)}N$...

  2. Diferencial de la forma. Deje $M$ ser un suave colector. Una forma diferenciada de grado $k$ es un buen sección de la $k$th potencia exterior de la cotangente del paquete de $M$. En cualquier punto de $p \in M$ $k$forma $\beta$ define una corriente alterna multilineal mapa de $\beta_p : T_p M \times \cdots \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$...

  3. Exterior de derivados. El exterior de la derivada se define como el único $\mathbb{R}$-lineal de asignación de $f \mapsto df$$k$ -formas a $(k + 1)$-formas de satisfacer las siguientes propiedades...

Lo que yo entiendo:

  • Aplicar $d$ a la diferencia de $k$-formas para obtener la diferencial de $(k+1)$-formas. Implícitamente, esto significa "exterior derivado."

Lo que no entiendo:

  • Si $\varphi : M \rightarrow N$ es un buen mapa de suave colectores, ¿en qué sentido, en todo caso, es el diferencial de $\varphi$ diferencial de la forma? ¿Hay alguna razón que no acabo de llamar a esto el pushforward y consistentemente denota $\varphi_*$?

  • Si $f : M \rightarrow \mathbb{R}$ es un buen mapa, no $df$ significa que el diferencial de $f$, o qué significa el exterior de derivados? Son estos de alguna manera milagrosa el mismo? Si es así, ¿por qué? Parece posible que esté la misma, mediante la identificación de $T_x\mathbb{R}$$\mathbb{R}$. No entiendo los detalles.

  • Lo que, en todo caso, es la conexión entre la diferencial de una suave asignación y el exterior de la derivada de una forma diferenciada?

21voto

Anders Eurenius Puntos 2976

Para un principiante que acaba de empezar a venir a los apretones con estas ideas, creo que lo más útil respuesta es esta:

Excepto en una situación especial (descrito a continuación), no es esencialmente no hay relación entre el exterior derivada de una diferencial de la forma y el diferencial (o pushforward) de una suave mapa entre colectores, otros que el hecho de que ambos son calcula localmente tomando derivados y son comúnmente se denota por el símbolo $d$.

La geometría diferencial es cargado con la notación, y a veces simplemente ejecución de las cartas, así que tenemos que sobrecargar un símbolo de la interpretación de diferentes maneras en diferentes situaciones. El hecho de que dos cosas son representadas por un mismo símbolo no siempre significa que ellos son "el mismo" en cualquier sentido profundo.

La situación en la que los dos conceptos están relacionados directamente es para un buen mapa de $f\colon M\to\mathbb R$. En este caso, podemos considerar $f$, ya sea como un suave mapa entre los colectores o como un $0$-forma. Considerando que es una suave mapa, para cada una de las $x\in M$, el pushforward es lineal en el mapa de $df_x\colon T_xM\to T_{f(x)}\mathbb R$. Considerando que es una $0$-forma, su diferencial de $df$$1$, lo que significa que para cada una de las $x\in M$ tenemos un funcional lineal $df_x\colon T_xM\to \mathbb R$. El vínculo entre los dos es el hecho de que, debido a $\mathbb R$ es un espacio vectorial, hay un canónicas de identificación de $T_{f(x)}\mathbb R\cong\mathbb R$, y en virtud de que la identificación de estas dos versiones de $df_x$ son exactamente el mismo mapa.

La excelente respuesta por parte de @user86418 explica un sofisticado contexto en el que tanto pushforwards y exterior derivados pueden considerarse como casos especiales de una forma más general de la construcción; pero eso es un contexto que no es recomendable que un principiante pasan mucho tiempo tratando de llegar a un acuerdo con.

10voto

chaiwalla Puntos 1132

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}\renewcommand{\phi}{\varphi}$Como usted puede saber, formas diferenciales en $M$ puede ser "vector de valores", es decir, que pueden tomar valores en algunos vector paquete de $E \to M$. En el caso más simple, $E$ es la trivial real de la línea de paquete, y "$E$valor diferencial de las formas" son "formas diferenciales". En general, si $(\Basis_{j})_{j=1}^{\ell}$ es un local de marco para $E$ en algunos banalizar coordinar vecindario $U$ (es decir, tanto en $E$ $TM$ son triviales sobre$U$), $E$valores $k$-forma se parece a $$ \sum_{j=1}^{\ell} \omega_{j} \Basis_{j} $$ con la $\omega_{j}$ ordinario $k$-formularios en $U$.[1]

Si $\phi:M \to N$ es un buen mapa, y si $p:E \to N$ es un vector paquete, hay un retroceso bundle $\phi^{*}E \to M$ cuyo espacio total es de $$ \{(x, v) \text{ en } M \times E: \phi(x) = p(v)\} $$ y cuya proyección del mapa es la proyección para el primer factor. Intuitivamente, poner una copia de la fibra, $E_{\phi(x)}$ $x$ por cada $x$$M$.

El empuje hacia adelante a veces es introducido de manera informal como una asignación de $\phi_{*}:TM \to TN$, pero técnicamente eso no es correcto. En realidad, $\phi_{*}$ toma valores en $\phi^{*}TN$ y es un mapeo entre el vector de paquetes de más de $M$.

  • El diferencial de $d\phi$ puede ser visto como un $1$-forma en $M$ tomando valores en $\phi^{*}TN$, el retroceso de la tangente paquete por $\phi$. Esa es una forma elegante de decir que si $v$ es un vector tangente a $M$ a un punto de $x$, $d\phi(x)(v)$ es un elemento de $T_{\phi(x)}N$, y es lineal en $v$. (Por supuesto, $d\phi(x)(v)$ mide realmente algo útil, la "tasa de cambio" de $\phi$ $x$ en la dirección $v$.)

  • Para una verdadera función con valores de $f$, el diferencial de $df$ es de hecho el exterior de derivados, por la definición habitual de los exteriores de derivados. A la malla, esto con el elemento anterior, tenga en cuenta que $T\Reals$ es un trivializado vector paquete: sabemos lo "$1$" significa que cuando hablamos de valor real de las funciones y formas, por lo $T\Reals = \Reals \times \Reals$ y, en consecuencia,$f^{*}T\Reals = M \times \Reals$. Eso significa que podemos ver el diferencial de $df$ $1$- forma con valores en $M \times \Reals$, es decir, como un valor real $1$-forma.

  • Su tercer punto puede ser respondida por la primera viñeta de arriba, pero es probablemente vale la pena mencionar que un suave mapa de $\phi:M \to N$ podría ser llamado un "$N$valores $0$-forma", cuyo diferencial es $d\phi$.

Notationally, creo que de $d\phi(x)$ como el lineal de fibra mapa enviar a un vector tangente $v$$T_{x}M$$d\phi(x)(v)$$T_{\phi(x)}N$, mientras que el empuje de avance $\phi_{*}$ es el paquete de mapa enviar a $(x, v)$$TM$$\bigl(\phi(x), d\phi(x)(v)\bigr)$$TN$. Así que no son completamente idénticas si necesita dividir los pelos, pero en la práctica generalmente, usted puede hablar acerca de empuje hacia adelante.


  1. Técnicamente, una $E$valores diferenciales $k$-forma es un buen sección del vector paquete de $\bigwedge^{k}T^{*}M \otimes E$. Si cambia como banalizaciones, el formulario de "coeficientes" transformar como diferenciales ordinarias formas, y el "vector partes" transformar como las secciones de $E$. En general, no hay exterior natural derivado en $E$valores de las formas; usted tiene que saber cómo diferenciar las secciones de $E$, así. Si $E$ tiene localmente constante transición de las funciones, sin embargo, entonces no es un exterior natural derivado, dada por $$ d\left(\sum \omega_{j} \Basis_{j}\right) = \sum (d\omega_{j}) \Basis_{j}. $$ Uno no puede hablar de esto sin hacer un plugin para holomorphic vector de paquetes: Holomorphic funciones actúan como constantes con respecto a la Dolbeault operador $\bar{\partial}$ (es decir, $f$ es holomorphic si y sólo si $\bar{\partial}f = 0$), por lo que hay un bien definidas $\bar{\partial}$ operador $$ \bar{\parcial}\left(\sum \omega_{j} \Basis_{j}\right) = \sum (\bar{\parcial}\omega_{j}) \Basis_{j} $$ para formas diferenciales con valores en un holomorphic vector paquete de $E$. (!)

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