13 votos

Pregunta acerca de la primera prueba en Hatcher Topología Algebraica

Tengo una pregunta acerca de Hatcher prueba de que el grupo fundamental de un círculo es Z. Específicamente, a mitad de camino a través de, ( http://www.math.cornell.edu/~hatcher/EN/ATch1.pdf , página 30), se muestra un importante un lexema afirmó más en general:

Dado un mapa de $Y\times I\rightarrow S^1$ (Y es cualquier espacio, y la I es un intervalo), no hay una única elevación a $Y\times I\rightarrow \mathbb{R}$ una vez que hemos especificado una condición inicial $Y\times \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$.

En la prueba de esto, se rompe $Y\times I$ en pequeños trozos $N\times \{y_0\}$, y sigue ajustando el tamaño de la $N$. En las correspondientes pruebas de Munkres o Fulton, $Y$ se fija como otra copia de $I$, y no hay necesidad de modificar las piezas que estamos mirando como la prueba de progresa.

Mi pregunta: ¿qué es diferente en Hatcher más general de la prueba? Específicamente, ¿por qué mantener a la modificación de la $N$? Mi sensación es que esto es debido a que $Y$ podría estar desconectado o mal en algún otro sentido. Mi pregunta parece un poco vago, pero (a) si usted mira Hatcher prueba, usted verá lo que quiero decir (cerca de la parte inferior de la p. 30), y (b) tengo la esperanza de que tal vez esta situación, y las dificultades con que se conocen lo suficiente como para que alguien la respuesta de todos modos.

2voto

Robert Bell Puntos 601

Este paso parece ser innecesario. En lo que sigue, voy a suponer que usted ha p. 30 en frente de usted (ya que está disponible gratuitamente en línea).

Empiece con la parte en la que él ha construido vecindario $N$ $y_0 \in Y$ y una partición de $0 = t_0 < \dots t_n = 1$ tal que $F(N \times [t_i,t_{i+1}]) \subset U_i$ por cada $i = 0, \dots, n-1$. El ascensor se construye mediante la definición de $\widetilde{F}:N \times I \to \mathbb{R}$ $h_{i} \circ F$ donde $h_{i}$ es el homeomorphism de la uniformemente cubierto vecindario $U_i$ a de la hoja de $\widetilde{U_i}$ que contiene $h_{i-1} \circ F(y_0,t_i)$. (El homeomorphism $h_0$ es determinado por el dado de elevación $\widetilde{F}$ tiempo $t=0$.)

La única pregunta es si esto está bien definido. Uno podría preocuparse de que $N \times \{t_i\}$ es asignado por la $(i-1)$-st ascensor en la hoja de $\widetilde{U}_{i-1}$, pero que el vecindario $N$ tiene que ser modificado para que la $i$-th levantar las colas para esto. En otras palabras, podría ser que necesitamos para reemplazar a $N$ con un pequeño vecindario $N'$, de modo que $h_{(i-1)} \circ F(N' \times \{t_i\}) \subset \widetilde{U}_{i-1} \cap \widetilde{U}_{i}$?

Este no es el caso, puesto que, por diseño, $F(N \times \{t_i\}) \subset U_{i-1} \cap U_i$. Por lo tanto, el mapa de arriba está bien definido. El ascensor es continua por la encolado lema para abrir sets.

0voto

merriam Puntos 67

La modificación de paso es necesario. En la notación de conjunto por la otra respuesta a esta pregunta:

Por construcción, $F(N \times \{t_i\}) \subset U_{i-1} \cap U_i$. Por construcción, y para todos los $k$, la "inversa" $h_{k}$ es el homeomorphism de la uniformemente cubierto vecindario $U_k$ a de la hoja de $\tilde{U_k}$. Por lo $\tilde{U_k}$ es homeomórficos a $U_k$. Ahora, en la etapa de $i$ de la construcción $\tilde{U_i}$ $\tilde{U}_{i-1}$ se cruzan - dos de ellos contienen $h_{i-1}(F(y_0,t_i))$.

Sin embargo, incluso después de todo esto, el conjunto $\tilde{U}_{i-1} \cap \tilde{U}_{i}$ no puede ser homeomórficos a $U_{i-1} \cap U_i$ (por ejemplo, podría tener menos componentes conectados). Sin embargo, el conjunto $\tilde{U}_{i-1} \cap \tilde{U}_{i}$ contiene un barrio de $h_{i-1}(F(y_0,t_i))$; este pequeño barrio es suficiente para la prueba.

Spanier (Capítulo 2, Teorema 3) se ocupa de este punto sutil de un modo ligeramente distinto - no reducir el conjunto de $N$, pero, en cambio, "baraja" de la colección de hojas de $\{\tilde{U}_\alpha\}$ fijos $U$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: